نظرية الحدود المركزية (CLT)

ما هي نظرية الحدود المركزية (CLT)؟

في نظرية الاحتمالات ، تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أن توزيع متغير العينة يقارب التوزيع الطبيعي (أي "منحنى الجرس") حيث يصبح حجم العينة أكبر ، بافتراض أن جميع العينات متطابقة في الحجم ، وبغض النظر عن لشكل التوزيع الفعلي للسكان.

بعبارة أخرى ، يعتبر CLT فرضية إحصائية أنه ، بالنظر إلى حجم عينة كبير بما فيه الكفاية من مجتمع ذي مستوى تباين محدود ، فإن متوسط جميع المتغيرات التي تم أخذ عينات منها من نفس المجتمع سيكون مساويًا تقريبًا لمتوسط المجتمع بأكمله. علاوة على ذلك ، تقترب هذه العينات من التوزيع الطبيعي ، حيث تكون تبايناتها مساوية تقريبًا لمتغير e من السكان حيث يزداد حجم العينة ، وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة.

على الرغم من أن أبراهام دي موفر قد طور هذا المفهوم لأول مرة في عام 1733 ، إلا أنه لم يتم إضفاء الطابع الرسمي عليه حتى عام 1930 ، عندما أطلق عليه عالم الرياضيات المجري جورج بوليا لقب نظرية الحد المركزي.

فهم نظرية الحدود المركزية (CLT)

وفقًا لنظرية الحد المركزي ، سيكون متوسط عينة البيانات أقرب إلى متوسط إجمالي السكان المعنيين ، حيث يزداد حجم العينة ، على الرغم من التوزيع الفعلي للبيانات. بمعنى آخر ، تكون البيانات دقيقة سواء كان التوزيع طبيعيًا أو منحرفًا.

كقاعدة عامة ، تعتبر أحجام العينة التي تتراوح من 30 إلى 50 تقريبًا كافية لعقد CLT ، مما يعني أن توزيع وسائل العينة يتم توزيعه بشكل طبيعي إلى حد ما. لذلك ، كلما زاد عدد العينات التي يأخذها المرء ، كلما أخذت النتائج الرسومية شكل التوزيع الطبيعي. لاحظ ، مع ذلك ، أن نظرية الحد المركزي ستظل تقريبية في كثير من الحالات لأحجام عينات أصغر بكثير ، مثل n = 8 أو n = 5.

غالبًا ما تُستخدم نظرية الحد المركزي بالاقتران مع قانون الأعداد الكبيرة ، والذي ينص على أن متوسط متوسط العينة والانحرافات المعيارية سيقترب من مساواة متوسط المحتوى والانحراف المعياري مع نمو حجم العينة ، وهو أمر مفيد للغاية في التنبؤ الدقيق بخصائص السكان.

<! - 00C90A54D1584F99732DEE5F5967F4DD ->

المكونات الأساسية لنظرية الحدود المركزية

تتكون نظرية الحد المركزي من عدة خصائص رئيسية. تدور هذه الخصائص إلى حد كبير حول العينات وأحجام العينات ومجموعة البيانات.

1. ** أخذ العينات متتالي. ** هذا يعني أن بعض وحدات العينة شائعة مع وحدات العينة المختارة في مناسبات سابقة.

2. ** أخذ العينات عشوائي. ** يجب اختيار جميع العينات عشوائيًا بحيث يكون لها نفس الاحتمال الإحصائي للاختيار.

3. ** يجب أن تكون العينات مستقلة. ** يجب ألا يكون للاختيارات أو النتائج من عينة واحدة أي تأثير على العينات المستقبلية أو نتائج العينات الأخرى.

4. ** يجب أن تكون العينات محدودة. ** غالبًا ما يُستشهد بأن العينة يجب ألا تزيد عن 10٪ من السكان إذا تم أخذ العينات بدون استبدال. بشكل عام ، تتطلب أحجام السكان الأكبر استخدام أحجام عينات أكبر.

5. ** حجم العينة آخذ في الازدياد. ** تعتبر نظرية الحدود المركزية مناسبة حيث يتم اختيار المزيد من العينات.

نظرية الحدود المركزية في التمويل

يعتبر CLT مفيدًا عند فحص عوائد سهم فردي أو مؤشرات أوسع ، لأن التحليل بسيط ، نظرًا للسهولة النسبية لتوليد البيانات المالية الضرورية. وبالتالي ، يعتمد المستثمرون من جميع الأنواع على CLT لتحليل عوائد الأسهم ، وإنشاء المحافظ ، وإدارة المخاطر.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن المستثمر يرغب في تحليل العائد الإجمالي لمؤشر الأسهم الذي يتألف من 1000 سهم. في هذا السيناريو ، قد يقوم المستثمر ببساطة بدراسة عينة عشوائية من الأسهم لزراعة العوائد المقدرة للمؤشر الإجمالي. لكي تكون آمنًا ، يجب أخذ عينات على الأقل من 30 إلى 50 سهمًا تم اختياره عشوائيًا عبر مختلف القطاعات حتى يتم الاحتفاظ بنظرية الحد المركزي. علاوة على ذلك ، يجب استبدال الأسهم المختارة مسبقًا بأسماء مختلفة للمساعدة في القضاء على التحيز.

يسلط الضوء

• تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أن توزيع العينة يقارب التوزيع الطبيعي مع زيادة حجم العينة ، بغض النظر عن توزيع السكان.

• غالبًا ما تعتبر أحجام العينات التي تساوي أو تزيد عن 30 كافية لاحتواء CLT.

• يتمثل أحد الجوانب الرئيسية لـ CLT في أن متوسط متوسط العينة والانحرافات المعيارية ستساوي متوسط المحتوى والانحراف المعياري.

• يمكن لحجم عينة كبير بما فيه الكفاية أن يتنبأ بخصائص السكان بشكل أكثر دقة.

• تعتبر CLT مفيدة في التمويل عند تحليل مجموعة كبيرة من الأوراق المالية لتقدير توزيعات المحفظة وسمات العوائد والمخاطر والارتباط.

التعليمات

لماذا تعتبر نظرية الحدود المركزية مفيدة؟

تُعد نظرية الحد المركزي مفيدة عند تحليل مجموعات البيانات الكبيرة لأنها تسمح للفرد بافتراض أن توزيع عينات المتوسط سيتم توزيعه بشكل طبيعي في معظم الحالات. هذا يسمح بتحليل واستدلال إحصائي أسهل. على سبيل المثال ، يمكن للمستثمرين استخدام نظرية الحدود المركزية لتجميع بيانات أداء الأمان الفردي وإنشاء توزيع عينة من الوسائل التي تمثل توزيعًا أكبر للسكان لعائدات الأمان على مدى فترة زمنية.

ما هي صيغة نظرية الحدود المركزية؟

لا تحتوي نظرية الحد المركزي على صيغتها الخاصة ، ولكنها تعتمد على متوسط العينة والانحراف المعياري. عندما يتم جمع عينة من المجتمع ، يتم استخدام الانحراف المعياري لتوزيع البيانات عبر منحنى توزيع الاحتمالية.

لماذا تصغر نظرية الحدود المركزية حجم العينة إلى أدنى حد 30؟

حجم العينة 30 شائع إلى حد ما عبر الإحصائيات. غالبًا ما يؤدي حجم العينة المكون من 30 إلى زيادة فترة الثقة لمجموعة بيانات السكان الخاصة بك بما يكفي لضمان التأكيدات مقابل النتائج التي توصلت إليها. كلما زاد حجم عينتك ، زاد احتمال أن تكون العينة ممثلة لمجموعة السكان لديك.