중심극한정리(CLT)

중심극한정리(CLT)란 무엇입니까?

확률 이론에서 중심 극한 정리(CLT)는 모든 표본 의 크기가 동일하고 인구의 실제 분포 형태.

다시 말해, CLT는 분산 수준이 유한한 모집단에서 충분히 큰 표본 크기가 주어지면 동일한 모집단에서 추출한 모든 변수의 평균이 전체 모집단의 평균과 거의 같다는 통계적 전제입니다. 또한 이러한 표본은 정규 분포 에 가깝고 표본 크기가 커질수록 대수의 법칙에 따라 분산이 모집단의 분산 e 와 거의 같습니다 .

이 개념은 1733년 Abraham de Moivre에 의해 처음 개발되었지만 헝가리 수학자 George Pólya가 중심극한정리라고 명명한 1930년까지 공식화되지 않았습니다.

중심극한정리(CLT) 이해하기

중심 극한 정리에 따르면 데이터의 실제 분포에도 불구하고 표본 크기가 증가함에 따라 데이터 표본의 평균은 해당 전체 모집단의 평균에 더 가깝습니다. 즉, 분포가 정상이든 비정상이든 데이터는 정확합니다.

일반적으로 약 30-50개의 표본 크기가 CLT를 유지하기에 충분한 것으로 간주됩니다. 이는 표본 평균의 분포가 상당히 정규 분포를 따른다는 것을 의미합니다. 따라서 더 많은 샘플을 취할수록 그래프 결과는 정규 분포의 형태를 취합니다. 그러나 중심 극한 정리는 n=8 또는 n=5와 같이 훨씬 작은 표본 크기에 대해 많은 경우에 여전히 근사화됩니다.

표본 크기가 커짐에 따라 표본 평균과 표준 편차의 평균이 모집단 평균 및 표준 편차와 같아진다는 큰 수의 법칙과 함께 자주 사용되며, 이는 다음에서 매우 유용 합니다. 인구의 특성을 정확하게 예측합니다.

중심극한정리의 핵심요소

중심 극한 정리는 몇 가지 주요 특성으로 구성됩니다. 이러한 특성은 주로 표본, 표본 크기 및 데이터 모집단을 중심으로 이루어집니다.

샘플링은 연속적입니다. 이는 일부 샘플 단위가 이전에 선택한 샘플 단위와 공통됨을 의미합니다.
샘플링은 무작위입니다. 모든 샘플은 동일한 통계적 선택 가능성을 갖도록 무작위로 선택 되어야 합니다.
샘플은 독립적이어야 합니다. 한 샘플의 선택 또는 결과는 향후 샘플 또는 다른 샘플 결과와 관련이 없어야 합니다.
표본을 제한해야 합니다. 표본을 대체하지 않고 표본 추출하는 경우 표본이 모집단의 10%를 넘지 않아야 한다는 말이 자주 인용됩니다. 일반적으로 모집단 크기가 클수록 더 큰 표본 크기를 사용해야 합니다.
샘플 크기가 증가하고 있습니다. 더 많은 샘플이 선택될수록 중심 극한 정리가 관련됩니다.

금융의 중심극한정리

CLT는 필요한 재무 데이터를 생성하는 것이 상대적으로 쉽기 때문에 분석이 간단하기 때문에 개별 주식 또는 더 광범위한 지수의 수익률을 조사할 때 유용합니다. 결과적으로 모든 유형의 투자자는 CLT에 의존하여 주식 수익률을 분석하고 포트폴리오를 구성하며 위험을 관리합니다.

예를 들어, 투자자가 1,000개의 주식으로 구성된 주가 지수의 전체 수익률을 분석하려고 한다고 가정해 보겠습니다. 이 시나리오에서 해당 투자자는 단순히 주식의 무작위 표본을 연구하여 전체 지수의 예상 수익을 산출할 수 있습니다. 안전을 위해 중심 극한 정리가 유지되도록 다양한 부문에서 무작위로 선택된 최소 30-50개의 주식을 샘플링해야 합니다. 또한 편견을 없애기 위해 이전에 선택한 주식을 다른 이름으로 바꿔야 합니다.

하이라이트

중심극한정리(CLT)는 모집단의 분포와 상관없이 표본의 크기가 커질수록 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워진다는 것입니다.
30개 이상의 표본 크기는 종종 CLT가 유지하기에 충분한 것으로 간주됩니다.
CLT의 주요 측면은 표본 평균 및 표준 편차의 평균이 모집단 평균 및 표준 편차와 동일하다는 것입니다.
표본 크기가 충분히 크면 모집단의 특성을 보다 정확하게 예측할 수 있습니다.
CLT는 수익률, 위험 및 상관 관계에 대한 포트폴리오 분포 및 특성을 추정하기 위해 대규모 증권 컬렉션을 분석할 때 재무에 유용합니다.

자주하는 질문

중심극한정리는 왜 유용한가요?

중심 극한 정리는 대부분의 경우 평균의 샘플링 분포가 정규 분포를 따른다고 가정할 수 있기 때문에 대규모 데이터 세트를 분석할 때 유용합니다. 이를 통해 보다 쉬운 통계 분석 및 추론이 가능합니다. 예를 들어, 투자자는 중앙 극한 정리를 사용하여 개별 보안 성능 데이터를 집계하고 일정 기간 동안 보안 수익에 대한 더 큰 모집단 분포를 나타내는 표본 평균 분포를 생성할 수 있습니다.

중심 극한 정리의 공식은 무엇입니까?

중심 극한 정리에는 자체 공식이 없지만 표본 평균과 표준 편차에 의존합니다. 모집단에서 표본 평균을 수집할 때 표준 편차를 사용하여 확률 분포 곡선에 데이터를 배포합니다.

중심극한정리의 최소화 표본 크기가 30인 이유는 무엇입니까?

30의 표본 크기는 통계 전반에 걸쳐 상당히 일반적입니다. 표본 크기가 30이면 조사 결과에 대한 주장을 정당화할 만큼 모집단 데이터 세트의 신뢰 구간이 증가하는 경우가 많습니다. 표본 크기가 클수록 표본이 모집단 집합을 대표할 가능성이 높아집니다.