Test T

Qu'est-ce qu'un test T ?

statistique inférentielle utilisé pour déterminer s'il existe une différence significative entre les moyennes de deux groupes, qui peuvent être liées dans certaines caractéristiques. Il est principalement utilisé lorsque les ensembles de données, comme l'ensemble de données enregistré comme le résultat de lancer une pièce 100 fois, suivraient une distribution normale et pourraient avoir des variances inconnues. Un test t est utilisé comme outil de test d'hypothèse, ce qui permet de tester une hypothèse applicable à une population.

Un test t examine la statistique t, les valeurs de distribution t et les degrés de liberté pour déterminer la signification statistique. Pour effectuer un test avec trois moyennes ou plus, il faut utiliser une analyse de variance.

Explication du test T

Essentiellement, un test t nous permet de comparer les valeurs moyennes des deux ensembles de données et de déterminer s'ils proviennent de la même population. Dans les exemples ci-dessus, si nous devions prendre un échantillon d'élèves de la classe A et un autre échantillon d'élèves de la classe B, nous ne nous attendrions pas à ce qu'ils aient exactement la même moyenne et l'écart type. De même, les échantillons prélevés dans le groupe témoin nourri avec un placebo et ceux prélevés dans le groupe de médicaments prescrits devraient avoir une moyenne et un écart type légèrement différents.

Mathématiquement, le test t prend un échantillon de chacun des deux ensembles et établit l'énoncé du problème en supposant une hypothèse nulle selon laquelle les deux moyennes sont égales. Sur la base des formules applicables, certaines valeurs sont calculées et comparées aux valeurs standard, et l'hypothèse nulle supposée est acceptée ou rejetée en conséquence.

Si l'hypothèse nulle se qualifie pour être rejetée, cela indique que les lectures de données sont fortes et ne sont probablement pas dues au hasard.

Le test t n'est qu'un des nombreux tests utilisés à cette fin. Les statisticiens doivent en outre utiliser des tests autres que le test t pour examiner davantage de variables et de tests avec des échantillons de plus grande taille. Pour un échantillon de grande taille, les statisticiens utilisent un test z. D'autres options de test incluent le test du chi carré et le test f.

Il existe trois types de tests t, et ils sont classés en tests t dépendants et indépendants.

Résultats de test ambigus

Considérez qu'un fabricant de médicaments veut tester un médicament nouvellement inventé. Il suit la procédure standard consistant à essayer le médicament sur un groupe de patients et à donner un placebo à un autre groupe, appelé groupe témoin. Le placebo administré au groupe témoin est une substance sans valeur thérapeutique prévue et sert de référence pour mesurer la réponse de l'autre groupe, qui reçoit le médicament lui-même.

Après l'essai du médicament, les membres du groupe témoin nourri avec un placebo ont signalé une augmentation de l'espérance de vie moyenne de trois ans, tandis que les membres du groupe à qui le nouveau médicament a été prescrit signalent une augmentation de l'espérance de vie moyenne de quatre ans. L'observation instantanée peut indiquer que le médicament fonctionne effectivement car les résultats sont meilleurs pour le groupe qui utilise le médicament. Cependant, il est également possible que l'observation soit due à un événement fortuit, en particulier à un coup de chance surprenant. Un test t est utile pour conclure si les résultats sont réellement corrects et applicables à l'ensemble de la population.

Dans une école, 100 élèves de la classe A ont obtenu une moyenne de 85 % avec un écart-type de 3 %. 100 autres élèves appartenant à la classe B ont obtenu une moyenne de 87 % avec un écart type de 4 %. Bien que la moyenne de la classe B soit meilleure que celle de la classe A, il n'est peut-être pas correct de conclure que la performance globale des élèves de la classe B est meilleure que celle des élèves de la classe A. C'est parce qu'il existe une variabilité naturelle dans les résultats des tests dans les deux classes, la différence pourrait donc être due au seul hasard. Un test t peut aider à déterminer si une classe s'en est mieux sortie qu'une autre.

Hypothèses du test T

1. La première hypothèse posée concernant les tests t concerne l'échelle de mesure. L'hypothèse d'un test t est que l'échelle de mesure appliquée aux données collectées suit une échelle continue ou ordinale, comme les scores d'un test de QI.

2. La deuxième hypothèse retenue est celle d'un échantillon aléatoire simple, à savoir que les données sont collectées à partir d'une partie représentative, sélectionnée au hasard, de la population totale.

3. La troisième hypothèse est que les données, lorsqu'elles sont tracées, donnent une distribution normale, une courbe de distribution en forme de cloche.

4. L'hypothèse finale est l'homogénéité de la variance. Une variance homogène ou égale existe lorsque les écarts types des échantillons sont approximativement égaux.

Calcul des tests T

Le calcul d'un test t nécessite trois valeurs de données clés. Ils incluent la différence entre les valeurs moyennes de chaque ensemble de données (appelée différence moyenne), l'écart type de chaque groupe et le nombre de valeurs de données de chaque groupe.

Le résultat du test t produit la valeur t. Cette valeur t calculée est ensuite comparée à une valeur obtenue à partir d'une table de valeurs critiques (appelée table de distribution T). Cette comparaison aide à déterminer l'effet du hasard seul sur la différence et si la différence est en dehors de cette plage de chance. Le test t demande si la différence entre les groupes représente une vraie différence dans l'étude ou s'il s'agit peut-être d'une différence aléatoire sans signification.

Tableaux de distribution T

La table de distribution T est disponible en formats unilatéral et bilatéral . Le premier est utilisé pour évaluer les cas qui ont une valeur ou une plage fixe avec une direction claire (positive ou négative). Par exemple, quelle est la probabilité que la valeur de sortie reste inférieure à -3, ou qu'elle soit supérieure à sept en lançant une paire de dés ? Ce dernier est utilisé pour l'analyse des limites de plage, comme demander si les coordonnées se situent entre -2 et +2.

Les calculs peuvent être effectués avec des logiciels standards qui prennent en charge les fonctions statistiques nécessaires, comme celles trouvées dans MS Excel.

Valeurs T et degrés de liberté

Le test t produit deux valeurs en sortie : la valeur t et les degrés de liberté. La valeur t est un rapport de la différence entre la moyenne des deux ensembles d'échantillons et la variation qui existe au sein des ensembles d'échantillons. Alors que la valeur du numérateur (la différence entre la moyenne des deux ensembles d'échantillons) est simple à calculer, le dénominateur (la variation qui existe dans les ensembles d'échantillons) peut devenir un peu compliqué selon le type de valeurs de données impliquées. Le dénominateur du ratio est une mesure de la dispersion ou de la variabilité. Des valeurs plus élevées de la valeur t, également appelées score t, indiquent qu'il existe une grande différence entre les deux ensembles d'échantillons. Plus la valeur t est petite, plus il existe de similitude entre les deux ensembles d'échantillons.

• Un grand t-score indique que les groupes sont différents.

• Un petit t-score indique que les groupes sont similaires.

Les degrés de liberté font référence aux valeurs d'une étude qui ont la liberté de varier et sont essentielles pour évaluer l'importance et la validité de l'hypothèse nulle. Le calcul de ces valeurs dépend généralement du nombre d'enregistrements de données disponibles dans l'ensemble d'échantillons.

Test T corrélé (ou apparié)

Le test t corrélé est effectué lorsque les échantillons sont généralement constitués de paires appariées d'unités similaires, ou lorsqu'il existe des cas de mesures répétées. Par exemple, il peut arriver que les mêmes patients soient testés à plusieurs reprises, avant et après avoir reçu un traitement particulier. Dans de tels cas, chaque patient est utilisé comme échantillon de contrôle contre lui-même.

Cette méthode s'applique également aux cas où les échantillons sont liés d'une certaine manière ou ont des caractéristiques correspondantes, comme une analyse comparative impliquant des enfants, des parents ou des frères et sœurs. Les tests t corrélés ou appariés sont de type dépendant, car ils impliquent des cas où les deux ensembles d'échantillons sont liés.

La formule de calcul de la valeur t et des degrés de liberté pour un test t apparié est :

<span class="katex-html" aria -hidden="true">< span class="mord">< span class="mord">< span class="mord">< span class="mord">< span class="mord">​< envergure class="vlist-t vlist-t2">T=< /span>(n)

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104,5,-217,7,106,5,-221

l0 -0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M834 80h400000v40h-400000z'/>​ s(</ span>diff)</ span>​ </ span>moyenne1−signifie2< span class="vlist-s">​</ span>où :< /span>méchant 1 et moyenne2</ span>=Les valeurs moyennes de chacun des ensembles d'échantillonss(diff )=L'écart type des différences des valeurs de données appariées n< span class="mrel">=La taille de l'échantillon (le nombre de différences appariées)n−1=Les degrés de liberté​

Les deux autres types appartiennent aux tests t indépendants. Les échantillons de ces types sont sélectionnés indépendamment les uns des autres, c'est-à-dire que les ensembles de données des deux groupes ne font pas référence aux mêmes valeurs. Ils incluent des cas comme un groupe de 100 patients divisé en deux groupes de 50 patients chacun. L'un des groupes devient le groupe témoin et reçoit un placebo, tandis que l'autre groupe reçoit le traitement prescrit. Cela constitue deux groupes d'échantillons indépendants qui ne sont pas appariés l'un à l'autre.

Test T à variance égale (ou groupée)

Le test t de variance égale est utilisé lorsque le nombre d'échantillons dans chaque groupe est le même ou que la variance des deux ensembles de données est similaire. La formule suivante est utilisée pour calculer la valeur t et les degrés de liberté pour le test t à variance égale :

$\begin&\text = \frac{ mean1 - mean2 }{\frac {(n1 - 1) \times var12 + (n2 - 1) \times var22 }{ n1 +n2 - 2}\times \sqrt{ \frac{1} + \frac{1}} } \&\textbf{où :}\&amp ;mean1 \text mean2 = \text \&\text{des ensembles d'échantillons}\&var1 \text var2 = \text{Variance de chacun des échantillons Positionner s}\&n1 \text n2 = \text{Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons} \end$

l0 -0

c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000v40

H1013.1s-83.4,268,-264.1,840c-180.7,572,-277,876.3,-289,913c-4.7,4.7,-12.7,7,-24,7

s-12,0,-12,0c-1.3,-3.3,-3.7,-11.7,-7,-25c-35.3,-125.3,-106.7,-373.3,-214,-744

c-10,12,-21,25,-33,39s-32,39,-32,39c-6,-5.3,-15,-14,-27,-26s25,-30,25,-30

c26.7,-32.7,52,-63,76,-91s52,-60,52,-60s208,722,208,722

c56,-175.3,126.3,-397.3,211,-666c84.7,-268.7,153.8,-488.2,207.5,-658.5

c53.7,-170.3,84.5,-266.8,92.5,-289.5z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>​ < span class="mord">mea< span class="mord mathnormal">n1< span class="mbin">−m< span class="mord mathnormal">ean2​où :< /span>mea< span class="mord mathnormal">n1 et </ span>mean2< span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em ;">=Valeurs moyennes de chacun< span class="mord text">des jeux d'échantillons< span class="pstrut" style="height:3.32144em;">var 1 et var2= Variance de chacun des ensembles d'échantillonsn1 et n2= Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons​</ span>

et,

$\begin &\text = n1 + n2 - 2 \ &\textbf\ &n1 \text n2 = \text{Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons} \ \end$< span class="vlist" style="height:2.5000000000000004em ;"> < span class="mord">< span class="mord">​ < /span>Degrés de liberté =n 1+< /span>n2< /span>−< /span>2 où :< span class="pstrut" style="height:3em ;">n< /span>1 et n2 =Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons​< span clas s="vlist" style="height:2.000000000000001em ;">

Test T de variance inégale

Le test t de variance inégale est utilisé lorsque le nombre d'échantillons dans chaque groupe est différent et que la variance des deux ensembles de données est également différente. Ce test est également appelé test t de Welch. La formule suivante est utilisée pour calculer la valeur t et les degrés de liberté pour un test t à variance inégale :

$\begin&\text =\frac{\sqrt{\bigg(\frac{+\frac\bigg)}}}\&\textbf {où :}\&mean1 \text mean2 = \text \&\text{des ensembles d'échantillons} \&var1 \text var2 = \text {Variance de chacun des ensembles d'échantillons} \&n1 \text n2 = \text{Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons} \end$< /span>valeur T< /span>=< span class="vlist-r">( n1 var 1​ < /span>+< span class="mfrac">n2< /span>var2​ )

c339.3,-1799.3,509.3,-2700,510,-2702 l0 -0

c3.3,-7.3,9.3,-11,18,-11 H400000v40H1017.7

s-90.5,478,-276.2,1466c-185.7,988,-279.5,1483,-281.5,1485c-2,6,-10,9,-24,9

c-8,0,-12,-0.7,-12,-2c0,-1.3,-5.3,-32,-16,-92c-50.7,-293.3,-119.7,-693.3,-207,-1200

c0,-1.3,-5.3,8.7,-16,30c-10.7,21.3,-21.3,42.7,-32,64s-16,33,-16,33s-26,-26,-26,-26

s76,-153,76,-153s77,-151,77,-151c0.7,0.7,35.7,202,105,604c67.3,400.7,102,602.7,104,

606zM1001 80h400000v40H1017.7z'/>​ < span class="mord">mea< span class="mord mathnormal">n1< span class="mbin">−m< span class="mord mathnormal">ean2​< span class="vlist" style="height:2.93em;"></ span>où : mea n1 et < /span>mean2=Valeurs moyennes de chacun des jeux d'échantillonsvar1 et v ar2=</ span>Variance de chacun des ensembles d'échantillonsn1 et n2=Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons​

et,

$\begin &\text{Degrés de liberté} = \frac{ \left ( \frac{ var12 } + \frac{ var22 } \right )2 }{ \frac{ \left ( \frac{ var12 } \right )2 }{ n1 - 1 } + \frac{ \left ( \frac { var22 } \right )^2 }{ n2 - 1}} \ &\textbf{où :}\ &var1 \text var2 = \text{Variance de chacun des jeux d'échantillons} \ &n1 \text n2 = \text{Nombre d'enregistrements dans chaque jeu d'échantillons} \ \end$< span class="katex-html" aria-hidden="true">< /span>​ </sp an>Degrés de liberté< /span>= </ span>n1< /span>−1< /span>( n1 < span class="pstrut" style="height:3em ;">var1< span class="vlist-r">2​)2​</ span></ span>+n2−1</ span>(< span class="mord mtight">n2< /span>var< /span>22 ​< /span>) 2< /span>​ (n1var1< span class="vlist-r">2</ span>​< /span>< /span>+ n2< /span> v</ span>ar<span class="mord mtight" ">2</ span>2 ​ )2 ​où :var< span class="mord">1 et var</ span>2=</ span>Variance de chacun des ensembles d'échantillonsn1 et < span class="mord mathnormal">n2< span class="mrel">=Nombre d'enregistrements dans chaque ensemble d'échantillons​</ span>

Déterminer le bon test T à utiliser

L'organigramme suivant peut être utilisé pour déterminer quel test t doit être utilisé en fonction des caractéristiques des ensembles d'échantillons. Les éléments clés à prendre en compte incluent si les enregistrements d'échantillon sont similaires, le nombre d'enregistrements de données dans chaque ensemble d'échantillons et la variance de chaque ensemble d'échantillons.

Exemple de test T de variance inégale

Supposons que nous prenions une mesure diagonale des peintures reçues dans une galerie d'art. Un groupe d'échantillons comprend 10 peintures, tandis que l'autre comprend 20 peintures. Les ensembles de données, avec les valeurs de moyenne et de variance correspondantes, sont les suivants :

TTT

Bien que la moyenne de l'ensemble 2 soit supérieure à celle de l'ensemble 1, nous ne pouvons pas conclure que la population correspondant à l'ensemble 2 a une moyenne plus élevée que la population correspondant à l'ensemble 1. La différence de 19,4 à 21,6 est-elle due au seul hasard, ou est-ce que existe-t-il vraiment des différences dans les populations globales de tous les tableaux reçus dans la galerie d'art ? Nous établissons le problème en supposant l'hypothèse nulle que la moyenne est la même entre les deux ensembles d'échantillons et effectuons un test t pour tester si l'hypothèse est plausible.

Étant donné que le nombre d'enregistrements de données est différent (n1 = 10 et n2 = 20) et que la variance est également différente, la valeur t et les degrés de liberté sont calculés pour l'ensemble de données ci-dessus à l'aide de la formule mentionnée dans le test T de variance inégale. section.

La valeur t est de -2,24787. Étant donné que le signe moins peut être ignoré lors de la comparaison des deux valeurs t, la valeur calculée est 2,24787.

La valeur des degrés de liberté est de 24,38 et est réduite à 24, en raison de la définition de la formule qui nécessite d'arrondir la valeur à la plus petite valeur entière possible.

On peut spécifier un niveau de probabilité (niveau alpha, niveau de signification, p) comme critère d'acceptation. Dans la plupart des cas, une valeur de 5 % peut être supposée.

En utilisant la valeur du degré de liberté comme 24 et un niveau de signification de 5 %, un regard sur le tableau de distribution des valeurs t donne une valeur de 2,064. La comparaison de cette valeur avec la valeur calculée de 2,247 indique que la valeur t calculée est supérieure à la valeur du tableau à un seuil de signification de 5 %. Par conséquent, il est prudent de rejeter l'hypothèse nulle selon laquelle il n'y a pas de différence entre les moyennes. L'ensemble de population a des différences intrinsèques, et elles ne sont pas par hasard.

Points forts

• Un test t est un type de statistique inférentielle utilisé pour déterminer s'il existe une différence significative entre les moyennes de deux groupes, qui peuvent être liées dans certaines caractéristiques.

• Le test t est l'un des nombreux tests utilisés dans le but de tester des hypothèses dans les statistiques.

• Il existe plusieurs types de tests t différents qui peuvent être effectués en fonction des données et du type d'analyse requis.

• Le calcul d'un test t nécessite trois valeurs de données clés. Ils incluent la différence entre les valeurs moyennes de chaque ensemble de données (appelée différence moyenne), l'écart type de chaque groupe et le nombre de valeurs de données de chaque groupe.