केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी)

केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत में, केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) में कहा गया है कि नमूना चर का वितरण एक सामान्य वितरण (यानी, "घंटी वक्र") का अनुमान लगाता है क्योंकि नमूना आकार बड़ा हो जाता है, यह मानते हुए कि सभी नमूने आकार में समान हैं, और परवाह किए बिना जनसंख्या के वास्तविक वितरण आकार की।

दूसरे शब्दों में कहें तो, सीएलटी एक सांख्यिकीय आधार है, जो एक परिमित स्तर के विचरण वाली जनसंख्या से पर्याप्त रूप से बड़े नमूना आकार को देखते हुए, एक ही जनसंख्या से सभी नमूना चरों का माध्य लगभग पूरी आबादी के माध्य के बराबर होगा। इसके अलावा, ये नमूने एक सामान्य वितरण का अनुमान लगाते हैं, उनकी भिन्नताएं जनसंख्या के विचरण ई के लगभग बराबर होती हैं क्योंकि बड़ी संख्या के कानून के अनुसार नमूना आकार बड़ा हो जाता है ।

यद्यपि इस अवधारणा को पहली बार 1733 में अब्राहम डी मोइवर द्वारा विकसित किया गया था, इसे 1930 तक औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, जब हंगरी के प्रसिद्ध गणितज्ञ जॉर्ज पोल्या ने इसे केंद्रीय सीमा प्रमेय करार दिया था।

केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) को समझना

केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, डेटा के वास्तविक वितरण के बावजूद, नमूना आकार बढ़ने पर, डेटा के नमूने का माध्य प्रश्न में समग्र जनसंख्या के माध्य के करीब होगा। दूसरे शब्दों में, डेटा सटीक है कि क्या वितरण सामान्य या असामान्य है।

एक सामान्य नियम के रूप में, लगभग 30-50 के नमूने के आकार को सीएलटी के लिए पर्याप्त माना जाता है, जिसका अर्थ है कि नमूना साधनों का वितरण काफी सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। इसलिए, जितने अधिक नमूने लिए जाते हैं, उतने ही अधिक रेखांकन परिणाम सामान्य वितरण का आकार लेते हैं। ध्यान दें, हालांकि, केंद्रीय सीमा प्रमेय अभी भी कई मामलों में बहुत छोटे नमूना आकारों के लिए अनुमानित होगा, जैसे कि n=8 या n=5।

केंद्रीय सीमा प्रमेय अक्सर बड़ी संख्या के कानून के संयोजन के साथ प्रयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि नमूना का औसत और मानक विचलन नमूना आकार बढ़ने के साथ जनसंख्या माध्य और मानक विचलन के बराबर हो जाएगा, जो बेहद उपयोगी है जनसंख्या की विशेषताओं की सटीक भविष्यवाणी करना।

केंद्रीय सीमा प्रमेय के प्रमुख घटक

केंद्रीय सीमा प्रमेय कई प्रमुख विशेषताओं से युक्त है। ये विशेषताएँ बड़े पैमाने पर नमूने, नमूना आकार और डेटा की आबादी के इर्द-गिर्द घूमती हैं।

नमूनाकरण क्रमिक है। इसका अर्थ है कि कुछ नमूना इकाइयाँ पिछले अवसरों पर चयनित नमूना इकाइयों के साथ सामान्य हैं।
नमूनाकरण यादृच्छिक है। सभी नमूनों को यादृच्छिक रूप से चुना जाना चाहिए ताकि उनके चुने जाने की समान सांख्यिकीय संभावना हो।
नमूने स्वतंत्र होने चाहिए। एक नमूने के चयन या परिणाम का भविष्य के नमूनों या अन्य नमूना परिणामों पर कोई असर नहीं होना चाहिए।
नमूने सीमित होने चाहिए। यह अक्सर उद्धृत किया जाता है कि यदि नमूना प्रतिस्थापन के बिना किया जाता है तो नमूना जनसंख्या का 10% से अधिक नहीं होना चाहिए। सामान्य तौर पर, बड़े जनसंख्या आकार बड़े नमूना आकारों के उपयोग की गारंटी देते हैं।
नमूना आकार बढ़ रहा है। केंद्रीय सीमा प्रमेय प्रासंगिक है क्योंकि अधिक नमूने चुने गए हैं।

वित्त में केंद्रीय सीमा प्रमेय

व्यक्तिगत स्टॉक या व्यापक सूचकांकों के रिटर्न की जांच करते समय सीएलटी उपयोगी होता है, क्योंकि आवश्यक वित्तीय डेटा उत्पन्न करने की सापेक्ष आसानी के कारण विश्लेषण सरल है। नतीजतन, सभी प्रकार के निवेशक स्टॉक रिटर्न का विश्लेषण करने, पोर्टफोलियो बनाने और जोखिम का प्रबंधन करने के लिए सीएलटी पर भरोसा करते हैं।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक निवेशक स्टॉक इंडेक्स के लिए कुल रिटर्न का विश्लेषण करना चाहता है जिसमें 1,000 इक्विटी शामिल हैं। इस परिदृश्य में, वह निवेशक कुल सूचकांक के अनुमानित रिटर्न की खेती के लिए स्टॉक के यादृच्छिक नमूने का अध्ययन कर सकता है। सुरक्षित रहने के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय को धारण करने के लिए विभिन्न क्षेत्रों में कम से कम 30-50 यादृच्छिक रूप से चयनित स्टॉक का नमूना लिया जाना चाहिए। इसके अलावा, पूर्वाग्रह को खत्म करने में मदद के लिए पहले से चयनित शेयरों को अलग-अलग नामों से बदल दिया जाना चाहिए।

हाइलाइट्स

केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) में कहा गया है कि नमूना के वितरण का मतलब सामान्य वितरण का अनुमान है क्योंकि नमूना आकार बड़ा हो जाता है, जनसंख्या के वितरण की परवाह किए बिना।
30 के बराबर या उससे अधिक के सैंपल साइज को अक्सर सीएलटी के लिए पर्याप्त माना जाता है।
सीएलटी का एक प्रमुख पहलू यह है कि नमूना माध्य और मानक विचलन का औसत जनसंख्या माध्य और मानक विचलन के बराबर होगा।
पर्याप्त रूप से बड़ा नमूना आकार जनसंख्या की विशेषताओं का अधिक सटीक अनुमान लगा सकता है।
पोर्टफोलियो वितरण और रिटर्न, जोखिम और सहसंबंध के लक्षणों का अनुमान लगाने के लिए प्रतिभूतियों के एक बड़े संग्रह का विश्लेषण करते समय सीएलटी वित्त में उपयोगी होता है।

सामान्य प्रश्न

केंद्रीय सीमा प्रमेय क्यों उपयोगी है?

केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़े डेटा सेट का विश्लेषण करते समय उपयोगी होता है क्योंकि यह किसी को यह मानने की अनुमति देता है कि ज्यादातर मामलों में माध्य का नमूना वितरण सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा। यह आसान सांख्यिकीय विश्लेषण और अनुमान के लिए अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, निवेशक व्यक्तिगत सुरक्षा प्रदर्शन डेटा एकत्र करने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और नमूना का वितरण उत्पन्न कर सकते हैं जो समय की अवधि में सुरक्षा रिटर्न के लिए बड़े जनसंख्या वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय का सूत्र क्या है?

केंद्रीय सीमा प्रमेय का अपना सूत्र नहीं है, लेकिन यह नमूना माध्य और मानक विचलन पर निर्भर करता है। चूंकि नमूना साधन जनसंख्या से एकत्र किए जाते हैं, मानक विचलन का उपयोग संभाव्यता वितरण वक्र में डेटा वितरित करने के लिए किया जाता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय का न्यूनतम नमूना आकार 30 क्यों है?

आँकड़ों में 30 का एक नमूना आकार काफी सामान्य है। 30 का एक नमूना आकार अक्सर आपके जनसंख्या डेटा के विश्वास अंतराल को बढ़ाता है जो आपके निष्कर्षों के खिलाफ दावे को वारंट करने के लिए पर्याप्त है। आपका नमूना आकार जितना अधिक होगा, उतनी ही अधिक संभावना है कि नमूना आपके जनसंख्या सेट का प्रतिनिधि होगा।