Merkezi Limit Teoremi (CLT)
Merkezi Limit Teoremi (CLT) Nedir?
Olasılık teorisinde, merkezi limit teoremi (CLT) , bir örnek değişkeninin dağılımının, örneklem boyutu büyüdükçe, tüm örneklerin boyut olarak aynı olduğunu varsayarak ve ne olursa olsun, normal bir dağılıma (yani, bir "çan eğrisi") yaklaştığını belirtir. nüfusun gerçek dağılım şeklinin
Başka bir deyişle, CLT, sonlu bir varyans düzeyine sahip bir popülasyondan yeterince büyük bir örneklem büyüklüğü verildiğinde, aynı popülasyondan tüm örneklenen değişkenlerin ortalamasının yaklaşık olarak tüm popülasyonun ortalamasına eşit olacağı istatistiksel bir önermedir. Ayrıca, bu örnekler , büyük sayılar yasasına göre örneklem boyutu büyüdükçe varyansları popülasyonun varyansına yaklaşık olarak eşit olacak şekilde normal bir dağılıma yakındır.
Bu kavram ilk olarak 1733'te Abraham de Moivre tarafından geliştirilmiş olmasına rağmen, 1930'da ünlü Macar matematikçi George Pólya'nın onu merkezi limit teoremi olarak adlandırmasına kadar resmileştirilmedi.
Merkezi Limit Teoremini (CLT) Anlamak
Merkezi limit teoremine göre, verilerin gerçek dağılımına bakılmaksızın, örneklem büyüklüğü arttıkça, bir veri örneğinin ortalaması, söz konusu genel popülasyonun ortalamasına daha yakın olacaktır. Başka bir deyişle, dağılım normal veya anormal olsun, veriler doğrudur.
Genel bir kural olarak, 30-50 civarındaki numune boyutları, CLT'nin tutması için yeterli kabul edilir; bu, numune araçlarının dağılımının oldukça normal dağıldığı anlamına gelir. Bu nedenle, ne kadar çok örnek alınırsa, grafiğe alınan sonuçlar o kadar normal dağılım şeklini alır. Bununla birlikte, n=8 veya n=5 gibi çok daha küçük örnek boyutları için birçok durumda merkezi limit teoreminin yine de yaklaşık olarak kabul edileceğine dikkat edin.
standart sapmaların ortalamasının, örneklem boyutu büyüdükçe popülasyon ortalamasına ve standart sapmaya eşit olmaya yaklaşacağını belirten büyük sayılar yasasıyla birlikte kullanılır; bu, son derece yararlıdır . popülasyonların özelliklerini doğru bir şekilde tahmin etmek.
Merkezi Limit Teoreminin Temel Bileşenleri
Merkezi limit teoremi birkaç temel özellikten oluşur. Bu özellikler büyük ölçüde örnekler, örnek boyutları ve veri popülasyonu etrafında döner.
Örnekleme ardışıktır. Bu, bazı örnek birimlerinin önceki durumlarda seçilen örnek birimleriyle ortak olduğu anlamına gelir.
Örnekleme rastgeledir. Tüm örnekler , aynı istatistiksel seçilme olasılığına sahip olmaları için rastgele seçilmelidir.
Numuneler bağımsız olmalıdır. Bir numuneden yapılan seçimler veya sonuçların gelecekteki numuneler veya diğer numune sonuçları üzerinde hiçbir etkisi olmamalıdır.
Örnekler sınırlı olmalıdır. Örnekleme, değiştirme yapılmadan yapılacaksa, örneğin popülasyonun %10'undan fazla olmaması gerektiği sık sık dile getirilir. Genel olarak, daha büyük popülasyon boyutları, daha büyük örnek boyutlarının kullanılmasını garanti eder.
Örnek boyutu artıyor. Daha fazla örnek seçildiği için merkezi limit teoremi geçerlidir.
Finansta Merkezi Limit Teoremi
CLT, tek bir hisse senedinin veya daha geniş endekslerin getirilerini incelerken yararlıdır, çünkü gerekli finansal verileri üretmenin göreceli kolaylığı nedeniyle analiz basittir. Sonuç olarak, her türden yatırımcı, hisse senedi getirilerini analiz etmek, portföy oluşturmak ve riski yönetmek için CLT'ye güvenir.
Örneğin, bir yatırımcının 1000 hisse senedi içeren bir hisse senedi endeksinin toplam getirisini analiz etmek istediğini varsayalım. Bu senaryoda, yatırımcı, toplam endeksin tahmini getirilerini elde etmek için rastgele bir hisse senedi örneğini inceleyebilir. Güvende olmak için, merkezi limit teoreminin tutması için çeşitli sektörlerde rastgele seçilen en az 30-50 hisse senedi örneklenmelidir. Ayrıca, önyargıyı ortadan kaldırmaya yardımcı olmak için önceden seçilen hisse senetleri farklı isimlerle değiştirilmelidir.
Öne Çıkanlar
Merkezi limit teoremi (CLT), popülasyonun dağılımından bağımsız olarak, örneklem büyüklüğü büyüdükçe örnek ortalamalarının dağılımının normal bir dağılıma yaklaştığını belirtir.
30'a eşit veya daha büyük numune boyutları genellikle CLT'nin tutması için yeterli kabul edilir.
CLT'nin önemli bir yönü, örnek ortalamalarının ve standart sapmaların ortalamasının, popülasyon ortalamasına ve standart sapmaya eşit olacağıdır.
Yeterince büyük bir örneklem büyüklüğü, bir popülasyonun özelliklerini daha doğru bir şekilde tahmin edebilir.
CLT, portföy dağılımlarını ve getiri, risk ve korelasyon özelliklerini tahmin etmek için geniş bir menkul kıymet koleksiyonunu analiz ederken finansta faydalıdır.
SSS
Merkezi Limit Teoremi Neden Yararlıdır?
Merkezi limit teoremi, büyük veri kümelerini analiz ederken yararlıdır çünkü çoğu durumda ortalamanın örnekleme dağılımının normal olarak dağıtılacağını varsaymaya izin verir. Bu, daha kolay istatistiksel analiz ve çıkarım sağlar. Örneğin, yatırımcılar, bireysel güvenlik performans verilerini toplamak için merkezi limit teoremini kullanabilir ve belirli bir süre boyunca güvenlik getirileri için daha büyük bir nüfus dağılımını temsil eden örnek araçların dağılımını oluşturabilir.
Merkezi Limit Teoreminin Formülü Nedir?
Merkezi limit teoreminin kendi formülü yoktur, ancak örnek ortalamasına ve standart sapmaya dayanır. Popülasyondan örnek ortalamalar toplandığından, verileri bir olasılık dağılım eğrisi boyunca dağıtmak için standart sapma kullanılır.
Merkezi Limit Teoremi Neden Örnek Boyutunu Küçült 30'dur?
İstatistiklerde 30'luk bir örneklem büyüklüğü oldukça yaygındır. 30'luk bir örneklem büyüklüğü, genellikle popülasyon veri setinizin güven aralığını, bulgularınıza karşı iddiaları garanti etmeye yetecek kadar artırır. Örnek boyutunuz ne kadar yüksek olursa, örneklemin popülasyon kümenizi temsil etme olasılığı o kadar yüksek olur.
