الانحدار غير الخطي

الانحدار غير الخطي هو شكل من أشكال تحليل الانحدار حيث تتلاءم البيانات مع نموذج ما ثم يتم التعبير عنها كوظيفة رياضية. يرتبط الانحدار الخطي البسيط بمتغيرين (X و Y) بخط مستقيم (y = mx + b) ، بينما يربط الانحدار غير الخطي بين المتغيرين في علاقة غير خطية (منحنية).

الهدف من النموذج هو جعل مجموع المربعات أصغر ما يمكن. مجموع المربعات هو مقياس يتتبع مدى اختلاف ملاحظات Y عن الوظيفة غير الخطية (المنحنية) المستخدمة للتنبؤ بـ Y.

يتم حسابها أولاً بإيجاد الفرق بين الوظيفة غير الخطية المجهزة وكل نقطة Y من البيانات في المجموعة. ثم يتم تربيع كل من هذه الاختلافات. أخيرًا ، يتم جمع كل الأرقام المربعة معًا. كلما كان مجموع هذه الأرقام المربعة أصغر ، كانت الوظيفة تناسب نقاط البيانات في المجموعة بشكل أفضل. يستخدم الانحدار غير الخطي الدوال اللوغاريتمية ، والدوال المثلثية ، والوظائف الأسية ، ووظائف الطاقة ، ومنحنيات لورنز ، والوظائف الغاوسية ، وطرق التركيب الأخرى.

تشبه نمذجة الانحدار غير الخطي نمذجة الانحدار الخطي حيث يسعى كلاهما إلى تتبع استجابة معينة من مجموعة من المتغيرات بيانياً. تعتبر النماذج غير الخطية أكثر تعقيدًا من النماذج الخطية لتطويرها لأن الوظيفة يتم إنشاؤها من خلال سلسلة من التقريبات (التكرارات) التي قد تنبع من التجربة والخطأ. يستخدم علماء الرياضيات عدة طرق معروفة ، مثل طريقة جاوس-نيوتن وطريقة ليفنبرج-ماركوارت.

غالبًا ما تكون نماذج الانحدار التي تبدو غير خطية للوهلة الأولى خطية في الواقع. يمكن استخدام إجراء تقدير المنحنى لتحديد طبيعة العلاقات الوظيفية الموجودة في بياناتك ، بحيث يمكنك اختيار نموذج الانحدار الصحيح ، سواء أكان خطيًا أم غير خطي. نماذج الانحدار الخطي ، في حين أنها عادة ما تشكل خطًا مستقيمًا ، يمكنها أيضًا تشكيل منحنيات ، اعتمادًا على شكل معادلة الانحدار الخطي. وبالمثل ، من الممكن استخدام الجبر لتحويل معادلة غير خطية بحيث تحاكي المعادلة الخطية - يُشار إلى هذه المعادلة غير الخطية على أنها "خطية جوهرية".

يرتبط الانحدار الخطي بمتغيرين بخط مستقيم ؛ يرتبط الانحدار غير الخطي بالمتغيرات باستخدام منحنى.

مثال على الانحدار غير الخطي

أحد الأمثلة على كيفية استخدام الانحدار غير الخطي هو التنبؤ بالنمو السكاني بمرور الوقت. يوضح مخطط التشتت لبيانات السكان المتغيرة بمرور الوقت أنه يبدو أن هناك علاقة بين الوقت والنمو السكاني ، لكنها علاقة غير خطية تتطلب استخدام نموذج الانحدار غير الخطي. يمكن أن يوفر نموذج النمو السكاني اللوجستي تقديرات للسكان للفترات التي لم يتم قياسها ، وتوقعات النمو السكاني في المستقبل.

يجب أن تكون المتغيرات المستقلة والتابعة المستخدمة في الانحدار غير الخطي كمية. يجب ترميز المتغيرات الفئوية ، مثل منطقة الإقامة أو الدين ، كمتغيرات ثنائية أو أنواع أخرى من المتغيرات الكمية.

من أجل الحصول على نتائج دقيقة من نموذج الانحدار غير الخطي ، يجب عليك التأكد من أن الوظيفة التي تحددها تصف العلاقة بين المتغيرات المستقلة والتابعة بدقة. قيم البداية الجيدة ضرورية أيضًا. قد تؤدي قيم البداية الضعيفة إلى فشل نموذج في التقارب ، أو حل مثالي محليًا فقط ، وليس عالميًا ، حتى إذا حددت الشكل الوظيفي الصحيح للنموذج.

يسلط الضوء

• يمكن أن يظهر الانحدار غير الخطي توقعًا للنمو السكاني بمرور الوقت.

• الانحدار غير الخطي هو دالة منحنية لمتغير X (أو متغيرات) تُستخدم للتنبؤ بمتغير Y

• يتنبأ كل من الانحدار الخطي وغير الخطي باستجابات Y من متغير X (أو متغيرات).