Nichtlineare Regression

Die nichtlineare Regression ist eine Form der Regressionsanalyse, bei der Daten an ein Modell angepasst und dann als mathematische Funktion ausgedrückt werden. Die einfache lineare Regression verbindet zwei Variablen (X und Y) mit einer geraden Linie (y = mx + b), während die nichtlineare Regression die beiden Variablen in einer nichtlinearen (gekrümmten) Beziehung zueinander in Beziehung setzt.

Das Ziel des Modells ist es, die Summe der Quadrate so klein wie möglich zu machen. Die Summe der Quadrate ist ein Maß, das verfolgt, wie weit die Y-Beobachtungen von der nichtlinearen (gekrümmten) Funktion abweichen, die zur Vorhersage von Y verwendet wird.

Sie wird berechnet, indem zuerst die Differenz zwischen der angepassten nichtlinearen Funktion und jedem Y-Datenpunkt im Satz ermittelt wird. Dann wird jede dieser Differenzen quadriert. Zuletzt werden alle Quadratzahlen zusammengezählt. Je kleiner die Summe dieser Quadratzahlen ist, desto besser passt die Funktion zu den Datenpunkten in der Menge. Die nichtlineare Regression verwendet logarithmische Funktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Potenzfunktionen, Lorenzkurven, Gaußsche Funktionen und andere Anpassungsmethoden.

Die nichtlineare Regressionsmodellierung ist der linearen Regressionsmodellierung insofern ähnlich, als beide versuchen, eine bestimmte Antwort aus einem Satz von Variablen grafisch zu verfolgen. Nichtlineare Modelle sind komplizierter zu entwickeln als lineare Modelle, da die Funktion durch eine Reihe von Annäherungen (Iterationen) erstellt wird, die aus Trial-and-Error stammen können. Mathematiker verwenden mehrere etablierte Methoden, wie die Gauß-Newton-Methode und die Levenberg-Marquardt-Methode.

Häufig sind Regressionsmodelle, die auf den ersten Blick nichtlinear erscheinen, tatsächlich linear. Das Kurvenschätzungsverfahren kann verwendet werden, um die Art der funktionalen Beziehungen zu identifizieren, die in Ihren Daten eine Rolle spielen, sodass Sie das richtige Regressionsmodell auswählen können, ob linear oder nichtlinear. Lineare Regressionsmodelle bilden zwar typischerweise eine gerade Linie, können aber je nach Form der linearen Regressionsgleichung auch Kurven bilden. Ebenso ist es möglich, Algebra zu verwenden, um eine nichtlineare Gleichung so zu transformieren, dass sie eine lineare Gleichung nachahmt – eine solche nichtlineare Gleichung wird als „intrinsisch linear“ bezeichnet.

Lineare Regression setzt zwei Variablen mit einer Geraden in Beziehung; Die nichtlineare Regression setzt die Variablen mithilfe einer Kurve in Beziehung.

Beispiel für nichtlineare Regression

Ein Beispiel dafür, wie die nichtlineare Regression verwendet werden kann, ist die Vorhersage des Bevölkerungswachstums im Laufe der Zeit. Ein Streudiagramm mit sich ändernden Bevölkerungsdaten im Laufe der Zeit zeigt, dass es eine Beziehung zwischen Zeit und Bevölkerungswachstum zu geben scheint, dass es sich jedoch um eine nichtlineare Beziehung handelt, die die Verwendung eines nichtlinearen Regressionsmodells erfordert. Ein logistisches Bevölkerungswachstumsmodell kann Schätzungen der Bevölkerung für nicht gemessene Zeiträume und Vorhersagen über das zukünftige Bevölkerungswachstum liefern.

Unabhängige und abhängige Variablen, die in der nichtlinearen Regression verwendet werden, sollten quantitativ sein. Kategoriale Variablen wie Wohnregion oder Religion sollten als binäre Variablen oder andere Arten von quantitativen Variablen kodiert werden.

Um genaue Ergebnisse aus dem nichtlinearen Regressionsmodell zu erhalten, sollten Sie sicherstellen, dass die von Ihnen angegebene Funktion die Beziehung zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen genau beschreibt. Auch gute Startwerte sind notwendig. Schlechte Ausgangswerte können zu einem Modell führen, das nicht konvergiert, oder zu einer Lösung, die nur lokal und nicht global optimal ist, selbst wenn Sie die richtige funktionale Form für das Modell angegeben haben.

Höhepunkte

• Nichtlineare Regression kann eine Vorhersage des Bevölkerungswachstums im Laufe der Zeit zeigen.

• Nichtlineare Regression ist eine gekrümmte Funktion einer X-Variablen (oder Variablen), die verwendet wird, um eine Y-Variable vorherzusagen

• Sowohl die lineare als auch die nichtlineare Regression sagen Y-Antworten von einer X-Variablen (oder Variablen) voraus.