非線形回帰

非線形回帰は、データをモデルに適合させてから数学関数として表現する回帰分析の形式です。単純な線形回帰は、2つの変数（XとY）を直線（y = mx + b）に関連付けますが、非線形回帰は、2つの変数を非線形（曲線）の関係に関連付けます。

モデルの目標は、正方形の合計をできるだけ小さくすることです。二乗和は、Yの観測値がYの予測に使用される非線形（曲線）関数からどれだけ変化するかを追跡する尺度です。

これは、最初に、近似された非線形関数とセット内のデータのすべてのY点との差を見つけることによって計算されます。次に、それらの違いのそれぞれが二乗されます。最後に、すべての四角い数字が一緒に追加されます。これらの2乗された数値の合計が小さいほど、関数はセット内のデータポイントによりよく適合します。非線形回帰は、対数関数、三角関数、指数関数、べき乗関数、ローレンツ曲線、ガウス関数、およびその他のフィッティング方法を使用します。

非線形回帰モデリングは、両方が変数のセットから特定の応答をグラフィカルに追跡しようとするという点で線形回帰モデリングに似ています。非線形モデルは、試行錯誤から生じる可能性のある一連の近似（反復）によって関数が作成されるため、開発する線形モデルよりも複雑です。数学者は、ガウス-ニュートン法やレーベンバーグ-マルカート法など、いくつかの確立された方法を使用します。

多くの場合、一見非線形に見える回帰モデルは実際には線形です。曲線推定手順を使用して、データで機能している機能的関係の性質を特定できるため、線形か非線形かにかかわらず、正しい回帰モデルを選択できます。線形回帰モデルは、通常は直線を形成しますが、線形回帰方程式の形式によっては曲線を形成することもあります。同様に、代数を使用して非線形方程式を変換し、線形方程式を模倣することもできます。このような非線形方程式は「本質的に線形」と呼ばれます。

線形回帰は、2つの変数を直線に関連付けます。非線形回帰は、曲線を使用して変数を関連付けます。

##非線形回帰の例

非線形回帰を使用する方法の一例は、時間の経過に伴う人口増加を予測することです。時間の経過とともに変化する人口データの散布図は、時間と人口増加の間に関係があるように見えるが、それは非線形関係であり、非線形回帰モデルの使用を必要とすることを示しています。ロジスティック人口増加モデルは、測定されなかった期間の人口の推定値、および将来の人口増加の予測を提供できます。

非線形回帰で使用される独立変数と従属変数は定量的である必要があります。居住地域や宗教などのカテゴリ変数は、バイナリ変数または他のタイプの量的変数としてコード化する必要があります。

非線形回帰モデルから正確な結果を得るには、指定する関数が独立変数と従属変数の関係を正確に記述していることを確認する必要があります。良い開始値も必要です。開始値が低いと、モデルに適切な関数形式を指定した場合でも、モデルが収束しないか、グローバルではなくローカルでのみ最適なソリューションになる可能性があります。

##ハイライト

-非線形回帰は、時間の経過に伴う人口増加の予測を示すことができます。

-非線形回帰は、Y変数を予測するために使用されるX変数（または複数の変数）の曲線関数です。

-線形回帰と非線形回帰はどちらも、X変数（または複数の変数）からのY応答を予測します。