비선형 회귀

비선형 회귀는 데이터를 모델에 맞춘 다음 수학 함수로 표현하는 회귀 분석의 한 형태입니다. 단순 선형 회귀 는 두 변수(X 및 Y)를 직선(y = mx + b)으로 연결하는 반면 비선형 회귀는 두 변수를 비선형(곡선) 관계로 연결합니다.

모델의 목표는 제곱합 을 가능한 한 작게 만드는 것입니다. 제곱합은 Y 관측치가 Y를 예측하는 데 사용되는 비선형(곡선) 함수와 얼마나 차이가 나는지를 추적하는 측정값입니다.

피팅된 비선형 함수와 세트에 있는 데이터의 모든 Y 포인트 간의 차이를 먼저 찾아 계산합니다. 그런 다음 각 차이를 제곱합니다. 마지막으로 모든 제곱수를 합산합니다. 이러한 제곱 숫자의 합이 작을수록 함수가 집합의 데이터 요소에 더 잘 맞습니다. 비선형 회귀는 로그 함수, 삼각 함수, 지수 함수, 거듭제곱 함수, 로렌츠 곡선, 가우스 함수 및 기타 피팅 방법을 사용합니다.

비선형 회귀 모델링은 그래픽으로 변수 집합의 특정 응답을 추적한다는 점에서 선형 회귀 모델링과 유사합니다. 비선형 모델은 시행착오에서 비롯될 수 있는 일련의 근사(반복)를 통해 함수가 생성되기 때문에 선형 모델보다 개발하기가 더 복잡합니다. 수학자들은 Gauss-Newton 방법 및 Levenberg-Marquardt 방법과 같은 몇 가지 확립된 방법을 사용합니다.

종종 첫눈에 비선형으로 보이는 회귀 모델은 실제로 선형입니다. 곡선 추정 절차는 데이터에서 작용하는 기능적 관계의 특성을 식별하는 데 사용할 수 있으므로 선형이든 비선형이든 올바른 회귀 모델을 선택할 수 있습니다. 선형 회귀 모델은 일반적으로 직선을 형성하지만 선형 회귀 방정식의 형식에 따라 곡선을 형성할 수도 있습니다. 마찬가지로, 선형 방정식을 모방하도록 비선형 방정식을 변환하는 데 대수학을 사용할 수 있습니다. 이러한 비선형 방정식을 "본질적으로 선형"이라고 합니다.

선형 회귀는 두 변수를 직선으로 연결합니다. 비선형 회귀는 곡선을 사용하여 변수를 연관시킵니다.

비선형 회귀의 예

비선형 회귀가 어떻게 사용될 수 있는지에 대한 한 가지 예는 시간 경과에 따른 인구 증가를 예측하는 것입니다. 시간 경과에 따른 인구 데이터 변화의 산점도는 시간과 인구 증가 사이에 관계가 있는 것처럼 보이지만 비선형 관계이므로 비선형 회귀 모델을 사용해야 함을 보여줍니다. 로지스틱 인구 증가 모델은 측정되지 않은 기간 동안의 인구 추정치와 미래 인구 증가율 예측을 제공할 수 있습니다.

비선형 회귀에 사용되는 독립 및 종속 변수는 정량적이어야 합니다. 거주 지역이나 종교와 같은 범주형 변수는 이진 변수 또는 기타 유형의 양적 변수로 코딩되어야 합니다.

비선형 회귀 모델에서 정확한 결과를 얻으려면 지정한 함수가 독립 변수와 종속 변수 간의 관계를 정확하게 설명하는지 확인해야 합니다. 좋은 시작 값도 필요합니다. 시작 값이 좋지 않으면 모델에 대한 올바른 기능 형식을 지정했더라도 수렴에 실패하는 모델 또는 전역적이 아니라 로컬에서만 최적인 솔루션이 발생할 수 있습니다.

##하이라이트

• 비선형 회귀는 시간 경과에 따른 인구 증가 예측을 보여줄 수 있습니다.

• 비선형 회귀는 Y 변수를 예측하는 데 사용되는 X 변수(또는 변수)의 곡선 함수입니다.

• 선형 및 비선형 회귀 모두 X 변수(또는 변수)의 Y 응답을 예측합니다.