Bakåtinduktion
Vad Àr bakÄtinduktion?
BakÄtinduktion i spelteori Àr en iterativ process av resonemang bakÄt i tiden, frÄn slutet av ett problem eller en situation, för att lösa en Àndlig omfattande form och sekventiella spel, och hÀrleda en sekvens av optimala handlingar.
BakÄtinduktion förklaras
BakÄtinduktion har anvÀnts för att lösa spel sedan John von Neumann och Oskar Morgenstern etablerade spelteori som ett akademiskt Àmne nÀr de publicerade sin bok, Theory of Games and Economic Behavior 1944.
I varje skede av spelet bestÀmmer bakÄtinduktion den optimala strategin för spelaren som gör det sista draget i spelet. Sedan bestÀms den optimala ÄtgÀrden för den nÀst sist rörliga spelaren, med den sista spelarens ÄtgÀrd som given. Denna process fortsÀtter bakÄt tills den bÀsta ÄtgÀrden för varje tidpunkt har bestÀmts. I praktiken bestÀmmer man Nash-jÀmvikten för varje delspel i originalspelet.
Men resultaten som hÀrleds frÄn bakÄtinduktion misslyckas ofta med att förutsÀga faktiska mÀnskliga spel. Experimentella studier har visat att "rationellt" beteende (som förutsÀgs av spelteorin) sÀllan uppvisar i verkliga livet. Irrationella spelare kan faktiskt fÄ högre utdelning Àn vad som förutspÄtts av bakÄtinduktion, vilket illustreras i tusenfotingsspelet.
I tusenfotingsspelet fÄr tvÄ spelare vÀxelvis en chans att ta en större del av en ökande pott med pengar, eller att skicka potten till den andra spelaren. Utbetalningarna Àr ordnade sÄ att om potten skickas till ens motstÄndare och motstÄndaren tar potten pÄ nÀsta omgÄng, fÄr man nÄgot mindre Àn om man hade tagit potten pÄ denna runda. Spelet avslutas sÄ snart en spelare tar förvaringen, dÀr spelaren fÄr den större delen och den andra spelaren fÄr den mindre delen.
Exempel pÄ bakÄtinduktion
Som ett exempel, anta att Izaz gÄr först och mÄste bestÀmma om de ska "ta" eller "passera" förrÄdet, som för nÀrvarande uppgÄr till $2. Om de tar fÄr Izaz och Jian $1 vardera, men om Izaz klarar mÄste beslutet att ta eller passera nu tas av Jian. Om Jian tar, fÄr de $3 (dvs. det tidigare förrÄdet pÄ $2 + $1) och Izaz fÄr $0. Men om Jian passerar fÄr Izaz nu bestÀmma om han ska ta eller klara osv. Om bÄda spelarna alltid vÀljer att passera fÄr de vardera en utdelning pÄ $100 i slutet av spelet.
PoÀngen med spelet Àr om Izaz och Jian bÄda samarbetar och fortsÀtter att passera till slutet av spelet, fÄr de maximal utbetalning pÄ $100 vardera. Men om de misstror den andra spelaren och förvÀntar sig att de ska "ta" vid första tillfÀllet, förutspÄr Nash equilibrium att spelarna kommer att ta lÀgsta möjliga ansprÄk ($1 i det hÀr fallet).
Nash-jÀmvikten i det hÀr spelet, dÀr ingen spelare har ett incitament att avvika frÄn sin valda strategi efter att ha övervÀgt en motstÄndares val, tyder pÄ att den första spelaren skulle ta potten i den allra första omgÄngen av spelet. Men i verkligheten Àr det relativt fÄ spelare som gör det. Som ett resultat fÄr de en högre utdelning Àn den utdelning som förutspÄtts av jÀmviktsanalysen.
Lösa sekventiella spel med bakÄtinduktion
Nedan Àr ett enkelt sekventiellt spel mellan tvÄ spelare. Etiketterna med spelare 1 och spelare 2 inom sig Àr informationsuppsÀttningarna för spelare en respektive tvÄ. Siffrorna inom parentes lÀngst ner i trÀdet Àr utdelningen vid varje respektive punkt. Spelet Àr ocksÄ sekventiellt, sÄ spelare 1 fattar det första beslutet (vÀnster eller höger) och spelare 2 fattar sitt beslut efter spelare 1 (upp eller ner).
BakÄtinduktion, som all spelteori, anvÀnder antagandena om rationalitet och maximering, vilket innebÀr att spelare 2 kommer att maximera sin utdelning i varje given situation. Vid varje informationsuppsÀttning har vi tvÄ val, fyra totalt. Genom att eliminera de val som spelare 2 inte kommer att vÀlja kan vi begrÀnsa vÄrt trÀd. PÄ detta sÀtt kommer vi att markera linjerna i blÄtt som maximerar spelarens utdelning vid den givna informationsuppsÀttningen.
Efter denna minskning kan spelare 1 maximera sina utdelningar nu nÀr spelare 2:s val görs kÀnda. Resultatet Àr en jÀmvikt som hittas genom induktion bakÄt dÀr spelare 1 vÀljer "höger" och spelare 2 vÀljer "upp". Nedan Àr lösningen pÄ spelet med jÀmviktsvÀgen i fet stil.
Till exempel skulle man enkelt kunna sÀtta upp ett spel som liknar det ovan med hjÀlp av företag som spelare. Det hÀr spelet kan innehÄlla scenarier för produktslÀpp . Om företag 1 ville slÀppa en produkt, vad skulle företag 2 göra som svar? Kommer Company 2 att slÀppa en liknande konkurrerande produkt? Genom att prognostisera försÀljningen av denna nya produkt i olika scenarier kan vi skapa ett spel för att förutsÀga hur hÀndelser kan utvecklas. Nedan Àr ett exempel pÄ hur man kan modellera ett sÄdant spel.
