Обратная индукция

Что такое обратная индукция?

Обратная индукция в теории игр — это итеративный процесс рассуждений в обратном направлении от конца проблемы или ситуации для решения конечной экстенсивной формы и последовательных игр и вывода последовательности оптимальных действий.

Объяснение обратной индукции

Обратная индукция использовалась для решения игр с тех пор, как Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн сделали теорию игр академическим предметом, когда они опубликовали свою книгу Теория игр и экономическое поведение в 1944 году.

На каждом этапе игры обратная индукция определяет оптимальную стратегию игрока, делающего последний ход в игре. Затем определяется оптимальное действие предпоследнего движущегося игрока, принимая действие последнего игрока за заданное. Этот процесс продолжается в обратном направлении, пока не будет определено наилучшее действие для каждого момента времени. По сути , определяется равновесие Нэша для каждой подигры исходной игры.

Однако результаты, полученные с помощью обратной индукции, часто не могут предсказать реальную человеческую игру. Экспериментальные исследования показали, что «рациональное» поведение (предсказываемое теорией игр) редко проявляется в реальной жизни. Иррациональные игроки могут в конечном итоге получить более высокие выигрыши, чем предсказывает обратная индукция, как показано в игре с многоножкой.

В игре «Сороконожка» два игрока поочередно получают шанс получить большую долю растущего банка денег или передать банк другому игроку. Выплаты устроены таким образом, что если банк передается противнику, и противник забирает банк в следующем раунде, он получает немного меньше, чем если бы он взял банк в этом раунде. Игра завершается, как только игрок забирает тайник, при этом этот игрок получает большую часть, а другой игрок получает меньшую часть.

Пример обратной индукции

В качестве примера предположим, что Изаз ходит первым и должен решить, должны ли они «взять» или «передать» тайник, который в настоящее время составляет 2 доллара. Если они возьмут, то Изаз и Цзянь получат по 1 доллару каждый, но если Изаз спасует, решение о взятии или пасовании теперь должно приниматься Джианом. Если Цзянь берет, они получают 3 доллара (т. е. предыдущая заначка 2 доллара + 1 доллар), а Изаз получает 0 долларов. Но если Цзянь проходит, теперь Изаз решает, принять или пройти, и так далее. Если оба игрока всегда решают спасовать, каждый из них получает выплату в размере 100 долларов в конце игры.

Смысл игры в том, что если Изаз и Цзянь будут сотрудничать и продолжать пасовать до конца игры, они получат максимальную выплату в размере 100 долларов каждый. Но если они не доверяют другому игроку и ожидают, что тот «возьмет» при первой же возможности, равновесие Нэша предсказывает, что игроки возьмут самую низкую возможную заявку (в данном случае 1 доллар).

Равновесие Нэша в этой игре, когда ни у одного игрока нет стимула отклоняться от выбранной стратегии после рассмотрения выбора противника, предполагает, что первый игрок получит банк в самом первом раунде игры. Однако на самом деле так поступают относительно немногие игроки. В результате они получают более высокий выигрыш, чем выигрыш, предсказанный анализом равновесия.

Решение последовательных игр с использованием обратной индукции

Ниже представлена простая последовательная игра между двумя игроками. Метки с Игроком 1 и Игроком 2 внутри них являются информационными наборами для игроков один или два соответственно. Числа в скобках внизу дерева — это выплаты в каждой соответствующей точке. Игра также является последовательной, поэтому Игрок 1 принимает решение первым (влево или вправо), а Игрок 2 принимает решение после Игрока 1 (вверх или вниз).

Обратная индукция, как и вся теория игр, использует допущения рациональности и максимизации, а это означает, что Игрок 2 будет максимизировать свой выигрыш в любой данной ситуации. В любом информационном наборе у нас есть два выбора, всего четыре. Исключая варианты, которые не выберет Игрок 2, мы можем сузить наше дерево. Таким образом, мы будем отмечать синим цветом линии, которые максимизируют выигрыш игрока при заданном наборе информации.

После этого сокращения Игрок 1 может максимизировать свои выигрыши, поскольку выбор Игрока 2 стал известен. Результатом является равновесие, найденное обратной индукцией, когда Игрок 1 выбирает «право», а Игрок 2 выбирает «вверх». Ниже показано решение игры с выделенным жирным шрифтом путем равновесия.

Например, можно легко настроить игру, подобную приведенной выше, используя компании в качестве игроков. Эта игра может включать сценарии выпуска продукта . Если бы Компания 1 захотела выпустить продукт, что могла бы сделать в ответ Компания 2? Будет ли компания 2 выпускать аналогичный конкурирующий продукт? Прогнозируя продажи этого нового продукта в различных сценариях, мы можем настроить игру, чтобы предсказать, как могут развиваться события . Ниже приведен пример того, как можно смоделировать такую игру.