Quadratsumme

Was ist die Summe der Quadrate?

Die Summe der Quadrate ist eine statistische Technik, die in der Regressionsanalyse verwendet wird, um die Streuung von Datenpunkten zu bestimmen. Bei einer Regressionsanalyse ist das Ziel festzustellen, wie gut eine Datenreihe an eine Funktion angepasst werden kann, die helfen könnte zu erklären, wie die Datenreihe generiert wurde. Die Summe der Quadrate wird als mathematischer Weg verwendet, um die Funktion zu finden, die am besten zu den Daten passt (sich am wenigsten unterscheidet).

Die Formel für die Summe der Quadrate lautet

$\begin &\text{Für eine Menge } X \text n \text\ &amp ;\text=\sum_^\left(X_i-\overline\right)$

Die Summe der Quadrate wird auch als Variation bezeichnet.

Was sagt dir die Summe der Quadrate?

Die Summe der Quadrate ist ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert. In der Statistik ist der Mittelwert der Durchschnitt einer Reihe von Zahlen und das am häufigsten verwendete Maß für die zentrale Tendenz. Der arithmetische Mittelwert wird einfach berechnet, indem die Werte im Datensatz aufsummiert und durch die Anzahl der Werte dividiert werden.

Nehmen wir an, die Schlusskurse von Microsoft (MSFT) in den letzten fünf Tagen waren 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 und 73,40 in US-Dollar. Die Summe der Gesamtpreise beträgt 369,73 $ und der mittlere oder durchschnittliche Preis des Lehrbuchs wäre somit 369,73 $ / 5 = 73,95 $.

Es reicht jedoch nicht immer aus, den Mittelwert einer Messreihe zu kennen. Manchmal ist es hilfreich zu wissen, wie viel Variation es in einer Reihe von Messungen gibt. Wie weit die einzelnen Werte vom Mittelwert entfernt sind, kann Aufschluss darüber geben, wie passend die Beobachtungen oder Werte zu dem erstellten Regressionsmodell sind.

Wenn ein Analyst beispielsweise wissen möchte, ob sich der Aktienkurs von MSFT parallel zum Kurs von Apple (AAPL) bewegt, kann er die Beobachtungen für den Verlauf beider Aktien für einen bestimmten Zeitraum auflisten, z. B. 1, 2 , oder 10 Jahre und erstellen Sie ein lineares Modell mit jeder der aufgezeichneten Beobachtungen oder Messungen. Wenn die Beziehung zwischen beiden Variablen (dh dem Preis von AAPL und dem Preis von MSFT) keine gerade Linie ist, dann gibt es Abweichungen im Datensatz, die untersucht werden müssen.

Wenn die Linie im erstellten linearen Modell nicht durch alle Wertmessungen verläuft, ist ein Teil der Schwankungen, die bei den Aktienkursen beobachtet wurden, unerklärlich. Die Summe der Quadrate wird verwendet, um zu berechnen, ob eine lineare Beziehung zwischen zwei Variablen besteht, und jede unerklärte Variabilität wird als Residualsumme der Quadrate bezeichnet.

Die Summe der Quadrate ist die Summe der Schwankungsquadrate, wobei die Schwankung als die Spanne zwischen jedem Einzelwert und dem Mittelwert definiert ist. Um die Summe der Quadrate zu bestimmen, wird der Abstand zwischen jedem Datenpunkt und der Linie der besten Anpassung quadriert und dann aufsummiert. Die Linie der besten Anpassung minimiert diesen Wert.

Wie man die Summe der Quadrate berechnet

Jetzt können Sie sehen, warum die Messung Summe der quadratischen Abweichungen oder kurz Summe der Quadrate genannt wird. Unter Verwendung unseres obigen MSFT-Beispiels kann die Summe der Quadrate wie folgt berechnet werden:

SS = (74,01 - 73,95)² + (74,77 - 73,95)² + (73,94 - 73,95)² + (73,61 - 73,95)² + (73,40 - 73,95)²

-SS = (0,06) ² + (0,82)² + (-0,01)² + (-0,34)² + (-0,55)²

SS = 1,0942

Das Addieren der Summe der Abweichungen allein ohne Quadrierung führt zu einer Zahl gleich oder nahe Null, da die negativen Abweichungen die positiven Abweichungen fast vollständig ausgleichen. Um eine realistischere Zahl zu erhalten, muss die Summe der Abweichungen quadriert werden. Die Summe der Quadrate ist immer eine positive Zahl, weil das Quadrat jeder Zahl, egal ob positiv oder negativ, immer positiv ist.

Beispiel für die Verwendung der Quadratsumme

Basierend auf den Ergebnissen der MSFT-Berechnung weist eine hohe Summe von Quadraten darauf hin, dass die meisten Werte weiter vom Mittelwert entfernt sind und daher eine große Variabilität in den Daten besteht. Eine niedrige Summe der Quadrate weist auf eine geringe Variabilität in der Menge der Beobachtungen hin.

Im obigen Beispiel zeigt 1,0942, dass die Schwankungen des MSFT-Aktienkurses in den letzten fünf Tagen sehr gering waren und Anleger, die in Aktien investieren möchten, die sich durch Preisstabilität und geringe Volatilität auszeichnen, können sich für MSFT entscheiden.

Einschränkungen bei der Verwendung der Summe der Quadrate

Um eine Investitionsentscheidung zu treffen, welche Aktien gekauft werden sollen, sind viel mehr Beobachtungen erforderlich als die hier aufgeführten. Ein Analyst muss möglicherweise mit jahrelangen Daten arbeiten, um mit größerer Gewissheit zu wissen, wie hoch oder niedrig die Variabilität eines Vermögenswerts ist. Je mehr Datenpunkte dem Satz hinzugefügt werden, desto größer wird die Summe der Quadrate, da die Werte weiter gestreut werden.

Die am häufigsten verwendeten Variationsmaße sind die Standardabweichung und die Varianz. Um jedoch eine der beiden Metriken zu berechnen, muss zuerst die Summe der Quadrate berechnet werden. Die Varianz ist der Durchschnitt der Summe der Quadrate (dh die Summe der Quadrate dividiert durch die Anzahl der Beobachtungen). Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Es gibt zwei Methoden der Regressionsanalyse, die die Summe der Quadrate verwenden: die lineare Methode der kleinsten Quadrate und die nichtlineare Methode der kleinsten Quadrate. Die Methode der kleinsten Quadrate bezieht sich auf die Tatsache, dass die Regressionsfunktion die Summe der Quadrate der Abweichung von den tatsächlichen Datenpunkten minimiert. Auf diese Weise ist es möglich, eine Funktion zu zeichnen, die statistisch am besten zu den Daten passt. Beachten Sie, dass eine Regressionsfunktion entweder linear (eine gerade Linie) oder nichtlinear (eine gekrümmte Linie) sein kann.

Höhepunkte

Die Summe der Quadrate misst die Abweichung der Datenpunkte vom Mittelwert.
Ein höheres Quadratsummenergebnis weist auf eine große Variabilität innerhalb des Datensatzes hin, während ein niedrigeres Ergebnis darauf hinweist, dass die Daten nicht wesentlich vom Mittelwert abweichen.