Quartil

Was ist ein Quartil?

Ein Quartil ist ein statistischer Begriff, der eine Unterteilung von Beobachtungen in vier definierte Intervalle beschreibt, basierend auf den Werten der Daten und wie sie mit dem gesamten Satz von Beobachtungen verglichen werden.

Quartile verstehen

Um das Quartil zu verstehen, ist es wichtig, den Median als Maß für die zentrale Tendenz zu verstehen. Der Median in der Statistik ist der Mittelwert einer Zahlenreihe. Es ist der Punkt, an dem genau die Hälfte der Daten unter und über dem Mittelwert liegt.

Bei einem Satz von 13 sortierten Zahlen (aufsteigend oder absteigend) wäre der Median also die siebte Zahl. Die sechs Zahlen vor diesem Wert sind die niedrigsten Zahlen in den Daten, und die sechs Zahlen nach dem Median sind die höchsten Zahlen im angegebenen Datensatz. Da der Median nicht von Extremwerten oder Ausreißern in der Verteilung beeinflusst wird, wird er manchmal dem Mittelwert vorgezogen.

Der Median ist ein robuster Standortschätzer, sagt aber nichts darüber aus, wie die Daten auf beiden Seiten seines Wertes verteilt oder verstreut sind. Hier kommt das Quartil ins Spiel. Das Quartil misst die Streuung von Werten über und unter dem Mittelwert, indem es die Verteilung in vier Gruppen unterteilt.

Wie Quartile funktionieren

So wie der Median die Daten halbiert, sodass 50 % der Messwerte unter dem Median und 50 % darüber liegen, teilt das Quartil die Daten in Viertel auf, sodass 25 % der Messwerte kleiner als das untere Quartil 50 sind % sind kleiner als der Median und 75 % sind kleiner als das obere Quartil.

Ein Quartil unterteilt Daten in drei Punkte – ein unteres Quartil, einen Median und ein oberes Quartil – um vier Gruppen des Datensatzes zu bilden. Das untere Quartil oder erste Quartil wird als Q1 bezeichnet und ist die mittlere Zahl, die zwischen dem kleinsten Wert des Datensatzes und dem Median liegt. Das zweite Quartil, Q2, ist auch der Median. Das obere oder dritte Quartil, als Q3 bezeichnet, ist der zentrale Punkt, der zwischen dem Median und der höchsten Zahl der Verteilung liegt.

Nun können wir die vier aus den Quartilen gebildeten Gruppen abbilden. Die erste Gruppe von Werten enthält die kleinste Zahl bis Q1; die zweite Gruppe umfasst Q1 bis zum Median; der dritte Satz ist der Median zu Q3; die vierte Kategorie umfasst Q3 bis zum höchsten Datenpunkt des gesamten Satzes.

Jedes Quartil enthält 25 % der gesamten Beobachtungen. Im Allgemeinen sind die Daten vom kleinsten zum größten angeordnet:

Erstes Quartil: die niedrigsten 25 % der Zahlen
Zweites Quartil: zwischen 0 % und 50 % (bis zum Median)
Drittes Quartil: 0 % bis 75 %
Viertes Quartil: die höchsten 25 % der Zahlen

Beispiel für Quartil

Angenommen, die Verteilung der Mathematikergebnisse in einer Klasse mit 19 Schülern in aufsteigender Reihenfolge ist:

59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

Markieren Sie zuerst den Median, Q2, der in diesem Fall der 10.^ Wert ist: 75.

Q1 ist der zentrale Punkt zwischen dem kleinsten Ergebnis und dem Median. In diesem Fall liegt Q1 zwischen dem ersten und dem fünften Ergebnis: 68. (Beachten Sie, dass der Median auch bei der Berechnung von Q1 oder Q3 für einen ungeraden Satz von Werten einbezogen werden kann. Wenn wir den Median auf beiden Seiten des Mittelpunkts einbeziehen würden , dann ist Q1 der Mittelwert zwischen der ersten und der zehnten Punktzahl, was der Durchschnitt der fünften und sechsten Punktzahl ist – (fünfter + sechster)/2 = (68 + 69)/2 = 68,5).

Q3 ist der Mittelwert zwischen Q2 und der höchsten Punktzahl: 84. (Oder wenn Sie den Median einbeziehen, Q3 = (82 + 84)/2 = 83).

Nun, da wir unsere Quartile haben, lassen Sie uns ihre Zahlen interpretieren. Eine Punktzahl von 68 (Q1) repräsentiert das erste Quartil und ist das 25^.^ Perzentil. 68 ist der Median der unteren Hälfte der Punktzahl in den verfügbaren Daten – also der Median der Punktzahlen von 59 bis 75.

Q1 sagt uns, dass 25 % der Punktzahlen kleiner als 68 sind und 75 % der Klassenpunktzahlen höher sind. Q2 (der Median) ist das 50^.^ Perzentil und zeigt, dass 50 % der Punktzahlen unter 75 liegen und 50 % der Punktzahlen über 75 liegen. Q3 schließlich, das 75^.^ Perzentil, zeigt, dass 25 % der Punkte sind größer und 75 % sind kleiner als 84.

Besondere Überlegungen

Wenn der Datenpunkt für Q1 weiter vom Median entfernt ist als Q3 vom Median, dann können wir sagen, dass es bei den kleineren Werten des Datensatzes eine größere Streuung gibt als bei den größeren Werten. Die gleiche Logik gilt, wenn Q3 weiter von Q2 entfernt ist als Q1 vom Median.

Alternativ ist bei einer geraden Anzahl von Datenpunkten der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen. Wenn wir in unserem obigen Beispiel 20 Schüler statt 19 hatten, ist der Median ihrer Punktzahl das arithmetische Mittel der 10^{- und 11}-Zahlen.

Quartile werden verwendet, um den Interquartilsabstand zu berechnen, der ein Maß für die Variabilität um den Median herum ist. Der Quartilabstand wird einfach als Differenz zwischen dem ersten und dritten Quartil berechnet: Q3–Q1. Tatsächlich ist es der Bereich der mittleren Hälfte der Daten, der zeigt, wie weit die Daten verteilt sind.

Für große Datensätze verfügt Microsoft Excel über eine QUARTILE-Funktion zum Berechnen von Quartilen.

Höhepunkte

Ein Quartil unterteilt Daten in drei Punkte – ein unteres Quartil, einen Median und ein oberes Quartil – um vier Gruppen des Datensatzes zu bilden.
Das Quartil misst die Streuung von Werten über und unter dem Mittelwert, indem die Verteilung in vier Gruppen unterteilt wird.
Quartile werden verwendet, um den Interquartilsabstand zu berechnen, der ein Maß für die Variabilität um den Median herum ist.