T-Verteilung

Was ist eine T-Verteilung?

Die T-Verteilung, auch als Student-t-Verteilung bekannt, ist eine Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung,. die der Normalverteilung mit ihrer Glockenform ähnelt, aber stärkere Schwänze hat. T-Verteilungen haben eine größere Wahrscheinlichkeit für Extremwerte als Normalverteilungen, daher die dickeren Schwänze.

Was sagt Ihnen eine T-Verteilung?

Die Schweifstärke wird durch einen Parameter der T-Verteilung bestimmt, der als Freiheitsgrade bezeichnet wird, wobei kleinere Werte schwerere Schweife ergeben und höhere Werte die T-Verteilung einer Standardnormalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 ähneln lassen Die T-Verteilung wird auch als „Schüler-T-Verteilung“ bezeichnet.

Wenn eine Stichprobe von n Beobachtungen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit Mittelwert M und Standardabweichung D entnommen wird, unterscheiden sich der Stichprobenmittelwert m und die Stichprobenstandardabweichung d aufgrund der Zufälligkeit der Stichprobe von M und D.

Ein z-Score kann mit der Grundgesamtheits-Standardabweichung als Z = (x – M)/D berechnet werden, und dieser Wert hat die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Aber wenn die geschätzte Standardabweichung verwendet wird, ein t-Score als T = (m – M)/{d/sqrt(n)} berechnet wird, macht die Differenz zwischen d und D die Verteilung zu einer T-Verteilung mit (n - 1) Freiheitsgraden und nicht zur Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.

Beispiel für die Verwendung einer T-Verteilung

Nehmen Sie das folgende Beispiel dafür, wie t-Verteilungen in der statistischen Analyse verwendet werden. Denken Sie zunächst daran, dass ein Konfidenzintervall für den Mittelwert ein Bereich von Werten ist, die aus den Daten berechnet werden, um einen „Populations“-Mittelwert zu erfassen. Dieses Intervall ist m + – t*d/sqrt(n), wobei t ein kritischer Wert aus der T-Verteilung ist.

Beispielsweise beträgt ein 95-%-Konfidenzintervall für die mittlere Rendite des Dow Jones Industrial Average in den 27 Handelstagen vor dem 11. September 2001 -0,33 %, (+/- 2,055) * 1,07 / sqrt(27), Geben Sie eine (dauerhafte) mittlere Rendite als eine Zahl zwischen -0,75% und +0,09% an. Die Zahl 2,055, die Menge an Standardfehlern, um die angepasst werden muss, wird aus der T-Verteilung ermittelt.

Da die T-Verteilung dickere Ausläufer als eine Normalverteilung hat, kann sie als Modell für finanzielle Renditen verwendet werden, die eine übermäßige Kurtosis aufweisen, was in solchen Fällen eine realistischere Berechnung des Value at Risk ( VaR ) ermöglicht.

Der Unterschied zwischen einer T-Verteilung und einer Normalverteilung

Normalverteilungen werden verwendet, wenn angenommen wird, dass die Populationsverteilung normal ist. Die T-Verteilung ähnelt der Normalverteilung, nur mit dickeren Schwänzen. Beide gehen von einer normalverteilten Population aus. T-Verteilungen haben eine höhere Kurtosis als Normalverteilungen. Die Wahrscheinlichkeit, sehr weit vom Mittelwert entfernte Werte zu erhalten, ist bei einer T-Verteilung größer als bei einer Normalverteilung.

Einschränkungen bei der Verwendung einer T-Verteilung

Die T-Verteilung kann die Genauigkeit relativ zur Normalverteilung verzerren. Sein Mangel tritt nur dann auf, wenn es um vollkommene Normalität geht. Die T-Verteilung sollte nur verwendet werden, wenn die Populationsstandardabweichung nicht bekannt ist. Wenn die Populationsstandardabweichung bekannt und der Stichprobenumfang groß genug ist, sollte für bessere Ergebnisse die Normalverteilung verwendet werden.

Höhepunkte

• Die T-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung des Z-Scores, wenn die geschätzte Standardabweichung anstelle der wahren Standardabweichung im Nenner verwendet wird.

• Die T-Verteilung ist wie die Normalverteilung glockenförmig und symmetrisch, aber sie hat stärkere Ausläufer, was bedeutet, dass sie dazu neigt, Werte zu erzeugen, die weit von ihrem Mittelwert entfernt sind.

• T-Tests werden in der Statistik verwendet, um die Signifikanz abzuschätzen.