Distribuzione T

Che cos'è una distribuzione T?

La distribuzione T, nota anche come distribuzione t di Student, è un tipo di distribuzione di probabilità simile alla distribuzione normale con la sua forma a campana ma con code più pesanti. Le distribuzioni T hanno una maggiore possibilità di valori estremi rispetto alle distribuzioni normali, quindi le code più grasse.

Cosa ti dice una distribuzione T?

La pesantezza della coda è determinata da un parametro della distribuzione T chiamato gradi di libertà,. con valori più piccoli che danno code più pesanti e con valori più alti che rendono la distribuzione T simile a una distribuzione normale standard con una media di 0 e una deviazione standard di 1. La La distribuzione T è anche nota come "Distribuzione T dello studente".

Quando un campione di n osservazioni viene prelevato da una popolazione normalmente distribuita con media M e deviazione standard D, la media campionaria, m, e la deviazione standard campionaria, d, differiranno da M e D a causa della casualità del campione.

Un punteggio z può essere calcolato con la deviazione standard della popolazione come Z = (x – M)/D, e questo valore ha la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1. Ma quando si utilizza la deviazione standard stimata, un punteggio t è calcolato come T = (m – M)/{d/sqrt(n)}, la differenza tra d e D rende la distribuzione una distribuzione T con (n - 1) gradi di libertà anziché la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1.

Esempio di come utilizzare una distribuzione T

Prendi l'esempio seguente per come vengono utilizzate le distribuzioni t nell'analisi statistica. Innanzitutto, ricorda che un intervallo di confidenza per la media è un intervallo di valori, calcolato dai dati, inteso a catturare una media di "popolazione". Questo intervallo è m +- t*d/sqrt(n), dove t è un valore critico dalla distribuzione T.

Ad esempio, un intervallo di confidenza del 95% per il rendimento medio del Dow Jones Industrial Average nei 27 giorni di negoziazione precedenti l'11/9/2001 è -0,33%, (+/- 2,055) * 1,07 / sqrt(27), dando un rendimento medio (persistente) come un numero compreso tra -0,75% e +0,09%. Il numero 2.055, la quantità di errori standard da correggere, si trova dalla distribuzione T.

Poiché la distribuzione T ha code più grasse rispetto a una distribuzione normale, può essere utilizzata come modello per i rendimenti finanziari che mostrano un'eccessiva curtosi, che consentirà un calcolo più realistico del Value at Risk ( VaR ) in questi casi.

La differenza tra una distribuzione T e una distribuzione normale

Le distribuzioni normali vengono utilizzate quando si presume che la distribuzione della popolazione sia normale. La distribuzione T è simile alla distribuzione normale, solo con code più grasse. Entrambi presuppongono una popolazione normalmente distribuita. Le distribuzioni T hanno una curtosi più alta rispetto alle distribuzioni normali. La probabilità di ottenere valori molto lontani dalla media è maggiore con una distribuzione T rispetto a una distribuzione normale.

Limitazioni dell'utilizzo di una distribuzione T

La distribuzione T può distorcere l'esattezza rispetto alla distribuzione normale. Il suo difetto sorge solo quando c'è bisogno di una perfetta normalità. La distribuzione T dovrebbe essere utilizzata solo quando la deviazione standard della popolazione non è nota. Se la deviazione standard della popolazione è nota e la dimensione del campione è sufficientemente ampia, per ottenere risultati migliori dovrebbe essere utilizzata la distribuzione normale.

Mette in risalto

• La distribuzione T è una distribuzione di probabilità continua del punteggio z quando la deviazione standard stimata viene utilizzata nel denominatore anziché la vera deviazione standard.

• La distribuzione T, come la distribuzione normale, è campana e simmetrica, ma ha code più pesanti, il che significa che tende a produrre valori che scendono lontano dalla sua media.

• I test T sono usati nelle statistiche per stimare la significatività.