Распределение Т

Что такое T-распределение?

T-распределение, также известное как t-распределение Стьюдента, представляет собой тип распределения вероятностей,. который подобен нормальному распределению своей колоколообразной формой, но имеет более тяжелые хвосты. T-распределения имеют больше шансов на экстремальные значения, чем нормальные распределения, отсюда и более толстые хвосты.

О чем говорит T-распределение?

Тяжесть хвоста определяется параметром распределения T, называемым степенями свободы,. при этом меньшие значения дают более тяжелые хвосты, а более высокие значения делают распределение T похожим на стандартное нормальное распределение со средним значением, равным 0, и стандартным отклонением, равным 1. Т-распределение также известно как «Т-распределение Стьюдента».

Когда выборка из n наблюдений берется из нормально распределенной совокупности, имеющей среднее значение M и стандартное отклонение D, среднее значение выборки m и стандартное отклонение выборки d будут отличаться от M и D из-за случайности выборки.

Z-показатель можно рассчитать со стандартным отклонением населения как Z = (x – M)/D, и это значение имеет нормальное распределение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. Но при использовании расчетного стандартного отклонения t-показатель вычисляется как T = (m – M)/{d/sqrt(n)}, разница между d и D делает распределение T-распределением с (n – 1) степенями свободы, а не нормальным распределением со средним значением 0 и стандартное отклонение 1.

Пример использования Т-распределения

Возьмем следующий пример того, как t-распределения используются в статистическом анализе. Во-первых, помните, что доверительный интервал для среднего значения — это диапазон значений, рассчитанный на основе данных, предназначенных для получения среднего значения «популяции». Этот интервал равен m +- t*d/sqrt(n), где t — критическое значение из распределения T.

Например, 95-процентный доверительный интервал для средней доходности промышленного индекса Доу-Джонса за 27 торговых дней до 11 сентября 2001 г. составляет -0,33 %, (+/- 2,055) * 1,07 / sqrt(27), давая (постоянную) среднюю доходность в виде некоторого числа от -0,75% до +0,09%. Число 2,055, количество стандартных ошибок для корректировки, находится из T-распределения.

Поскольку T-распределение имеет более толстые хвосты, чем нормальное распределение, его можно использовать в качестве модели финансовой доходности, которая демонстрирует избыточный эксцесс, что позволит в таких случаях более реалистично рассчитать стоимость под риском ( VaR ).

Разница между Т-распределением и нормальным распределением

Нормальные распределения используются, когда предполагается, что распределение населения является нормальным. Распределение T похоже на нормальное распределение, только с более толстыми хвостами. Оба предполагают нормально распределенную популяцию. Распределения T имеют более высокий эксцесс, чем нормальные распределения. Вероятность получения значений, очень далеких от среднего, больше при Т-распределении, чем при нормальном распределении.

Ограничения использования Т-распределения

Распределение T может искажать точность по сравнению с нормальным распределением. Его недостаток возникает только тогда, когда есть потребность в совершенной нормальности. Т-распределение следует использовать только в том случае, если стандартное отклонение популяции неизвестно. Если известно стандартное отклонение генеральной совокупности и размер выборки достаточно велик, для получения лучших результатов следует использовать нормальное распределение.

Особенности

• Распределение Т представляет собой непрерывное распределение вероятностей z-показателя, когда в знаменателе используется оценочное стандартное отклонение, а не истинное стандартное отклонение.

• Т-распределение, как и нормальное распределение, имеет форму колокола и симметрично, но имеет более тяжелые хвосты, что означает, что оно имеет тенденцию давать значения, далекие от своего среднего значения.

• Т-тесты используются в статистике для оценки значимости.