Wahrscheinlichkeitsverteilung

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine statistische Funktion, die alle möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten beschreibt, die eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen kann. Dieser Bereich wird zwischen den minimal und maximal möglichen Werten begrenzt, aber wo genau der mögliche Wert wahrscheinlich auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgetragen wird, hängt von einer Reihe von Faktoren ab. Zu diesen Faktoren gehören Mittelwert (Durchschnitt), Standardabweichung,. Schiefe und Kurtosis der Verteilung.

Wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen funktionieren

Die vielleicht gebräuchlichste Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung oder „ Glockenkurve “, obwohl es mehrere häufig verwendete Verteilungen gibt. Typischerweise bestimmt der Datenerzeugungsprozess eines Phänomens seine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Vorgang wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch verwendet werden, um kumulative Verteilungsfunktionen (CDFs) zu erstellen, die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens kumulativ aufsummieren und immer bei Null beginnen und bei 100 % enden.

Akademiker, Finanzanalysten und Fondsmanager können gleichermaßen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bestimmten Aktie bestimmen, um die möglichen erwarteten Renditen zu bewerten, die die Aktie in der Zukunft erzielen kann. Die Historie der Renditen der Aktie, die aus jedem Zeitintervall gemessen werden kann, wird wahrscheinlich nur aus einem Bruchteil der Renditen der Aktie bestehen, wodurch die Analyse einem Stichprobenfehler unterliegen wird. Durch Erhöhen der Stichprobengröße kann dieser Fehler drastisch reduziert werden.

Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es gibt viele verschiedene Klassifizierungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Einige von ihnen umfassen die Normalverteilung, die Chi-Quadrat- Verteilung, die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dienen unterschiedlichen Zwecken und repräsentieren unterschiedliche Datenerzeugungsprozesse. Die Binomialverteilung bewertet beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mehrere Male über eine gegebene Anzahl von Versuchen auftritt und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch gegeben ist. und kann generiert werden, indem verfolgt wird, wie viele Freiwürfe ein Basketballspieler in einem Spiel macht, wobei 1 = ein Korb und 0 = ein Fehlschuss ist. Ein weiteres typisches Beispiel wäre, eine faire Münze zu verwenden und die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass diese Münze bei 10 geraden Würfen Kopf zeigt. Eine Binomialverteilung ist diskret im Gegensatz zu stetig, da nur 1 oder 0 eine gültige Antwort ist.

Die am häufigsten verwendete Verteilung ist die Normalverteilung, die häufig in den Bereichen Finanzen, Investitionen, Wissenschaft und Technik verwendet wird. Die Normalverteilung ist vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert, was bedeutet, dass die Verteilung nicht verzerrt ist und eine Kurtosis aufweist. Dadurch wird die Verteilung symmetrisch und beim Auftragen als glockenförmige Kurve dargestellt. Eine Normalverteilung ist definiert durch einen Mittelwert (Durchschnitt) von Null und eine Standardabweichung von 1,0 mit einer Abweichung von Null und Kurtosis = 3. Bei einer Normalverteilung fallen etwa 68 % der erfassten Daten innerhalb von +/- einem Standard Abweichung vom Mittelwert; ca. 95 % innerhalb von +/- zwei Standardabweichungen; und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen. Im Gegensatz zur Binomialverteilung ist die Normalverteilung kontinuierlich, was bedeutet, dass alle möglichen Werte dargestellt werden (im Gegensatz zu nur 0 und 1 ohne dazwischen).

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die beim Investieren verwendet werden

Von Aktienrenditen wird oft angenommen, dass sie normalverteilt sind, aber in Wirklichkeit weisen sie eine Kurtosis auf, wobei große negative und positive Renditen anscheinend häufiger auftreten, als von einer Normalverteilung vorhergesagt würde. Da die Aktienkurse durch Null begrenzt sind, aber ein potenziell unbegrenztes Aufwärtspotenzial bieten, wurde die Verteilung der Aktienrenditen als logarithmisch normal beschrieben. Dies zeigt sich in einem Diagramm von Aktienrenditen, wobei die Enden der Verteilung eine größere Dicke aufweisen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden häufig auch im Risikomanagement verwendet, um die Wahrscheinlichkeit und Höhe von Verlusten zu bewerten, die ein Anlageportfolio aufgrund einer Verteilung historischer Renditen erleiden würde. Eine beliebte Risikomanagementmetrik, die beim Investieren verwendet wird, ist der Value-at-Risk (VaR). Der VaR gibt den minimalen Verlust an, der bei einem gegebenen Wahrscheinlichkeits- und Zeitrahmen für ein Portfolio auftreten kann. Alternativ kann ein Anleger mithilfe von VaR eine Verlustwahrscheinlichkeit für eine Verlusthöhe und einen Zeitrahmen erhalten. Missbrauch und übermäßiges Vertrauen in VaR wurden als eine der Hauptursachen für die Finanzkrise von 2008 angesehen.

Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als einfaches Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung wollen wir uns die Zahl ansehen, die beim Rollen von zwei standardmäßigen sechsseitigen Würfeln beobachtet wird. Jeder Würfel hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, eine einzelne Zahl von eins bis sechs zu würfeln, aber die Summe von zwei Würfeln bildet die im Bild unten dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sieben ist das häufigste Ergebnis (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Zwei und zwölf sind dagegen weit weniger wahrscheinlich (1+1 und 6+6).

Höhepunkte

• Anleger verwenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Renditen von Vermögenswerten wie Aktien im Laufe der Zeit zu antizipieren und ihr Risiko abzusichern.

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es in vielen Formen mit unterschiedlichen Eigenschaften, die durch Mittelwert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis definiert sind.

• Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt die erwarteten Ergebnisse möglicher Werte für einen gegebenen Datengenerierungsprozess.