Somme des carrés

Qu'est-ce que la somme des carrés ?

La somme des carrés est une technique statistique utilisée dans l'analyse de régression pour déterminer la dispersion des points de données. Dans une analyse de régression,. l'objectif est de déterminer dans quelle mesure une série de données peut être ajustée à une fonction qui pourrait aider à expliquer comment la série de données a été générée. La somme des carrés est utilisée comme méthode mathématique pour trouver la fonction qui correspond le mieux (varie le moins) à partir des données.

La formule de la somme des carrés est

$\begin &\text X \text n \text{ éléments :}\ &amp ;\text{Somme des carrés}=\sum_^\left(X_i-\overline\right)2\ &\textbf{où :}\ &X_i =\text i \text{ élément de l'ensemble}\ &\overline=\text{La moyenne de tous les éléments de l'ensemble}\ &\left(X_i- \overline\right) = \text{L'écart de chaque élément par rapport à la moyenne}\ \end$< span class="vlist" style="height:5. 687417000000001em;"> < /span>​ Pour un ensemble X de n éléments :Somme des carrés=</sp an>i=0 ∑n​( X</ span>i​< /span>−X< span class="overline-line" style="border-bottom-width:0.04em;">) 2</ span>où :X<span class="vlist" ="height:0.31166399999999994em ;">i​=Le i th élément de l'ensemble< span style="top:-0.6673100000000005em ;">< /span>X< span class="pstrut" style="height:3em ;"> =</ span>La moyenne de tous les éléments de l'ensemble < span class="mord"> (X i​</ span>−</sp an>X< /span>) =L'écart de chaque élément par rapport à la moyenne ​

La somme des carrés est également connue sous le nom de variation.

Que vous dit la somme des carrés ?

La somme des carrés est une mesure de l'écart par rapport à la moyenne. En statistique, la moyenne est la moyenne d'un ensemble de nombres et est la mesure la plus couramment utilisée de la tendance centrale. La moyenne arithmétique est simplement calculée en additionnant les valeurs de l'ensemble de données et en divisant par le nombre de valeurs.

Disons que les cours de clôture de Microsoft (MSFT) au cours des cinq derniers jours étaient de 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 et 73,40 en dollars américains. La somme des prix totaux est de 369,73 $ et le prix moyen ou moyen du manuel serait donc de 369,73 $ / 5 = 73,95 $.

Mais connaître la moyenne d'un ensemble de mesures ne suffit pas toujours. Parfois, il est utile de connaître l'ampleur de la variation dans un ensemble de mesures. L'écart entre les valeurs individuelles et la moyenne peut donner une idée de l'adéquation des observations ou des valeurs au modèle de régression créé.

Par exemple, si un analyste veut savoir si le prix de l'action MSFT évolue en parallèle avec le prix d'Apple (AAPL), il peut lister l'ensemble des observations pour le processus des deux actions pendant une certaine période, disons 1, 2 , ou 10 ans et créer un modèle linéaire avec chacune des observations ou mesures enregistrées. Si la relation entre les deux variables (c'est-à-dire le prix de l'AAPL et le prix du MSFT) n'est pas une ligne droite, alors il y a des variations dans l'ensemble de données qui doivent être examinées.

En statistique vernaculaire, si la ligne du modèle linéaire créé ne passe pas par toutes les mesures de valeur, alors une partie de la variabilité observée dans les cours des actions est inexpliquée. La somme des carrés est utilisée pour calculer s'il existe une relation linéaire entre deux variables, et toute variabilité inexpliquée est appelée la somme résiduelle des carrés.

La somme des carrés est la somme du carré de la variation, où la variation est définie comme l'écart entre chaque valeur individuelle et la moyenne. Pour déterminer la somme des carrés, la distance entre chaque point de données et la ligne de meilleur ajustement est mise au carré puis additionnée. La ligne de meilleur ajustement minimisera cette valeur.

Comment calculer la somme des carrés

Vous pouvez maintenant voir pourquoi la mesure s'appelle la somme des écarts au carré, ou la somme des carrés en abrégé. En utilisant notre exemple MSFT ci-dessus, la somme des carrés peut être calculée comme suit :

• SS = (74.01 - 73.95)² + (74.77 - 73.95)² + (73.94 - 73.95)² + (73.61 - 73.95)² + (73.40 - 73.95)²

• SS = (0,06) ² + (0,82)² + (-0,01)² + (-0,34)² + (-0,55)²

• SS = 1,0942

L'ajout de la somme des déviations seules sans mise au carré donnera un nombre égal ou proche de zéro puisque les déviations négatives compenseront presque parfaitement les déviations positives. Pour obtenir un nombre plus réaliste, la somme des écarts doit être élevée au carré. La somme des carrés sera toujours un nombre positif car le carré de tout nombre, qu'il soit positif ou négatif, est toujours positif.

Exemple d'utilisation de la somme des carrés

Sur la base des résultats du calcul MSFT, une somme des carrés élevée indique que la plupart des valeurs sont plus éloignées de la moyenne et, par conséquent, il existe une grande variabilité dans les données. Une faible somme des carrés fait référence à une faible variabilité dans l'ensemble d'observations.

Dans l'exemple ci-dessus, 1,0942 montre que la variabilité du cours de l'action MSFT au cours des cinq derniers jours est très faible et les investisseurs qui cherchent à investir dans des actions caractérisées par la stabilité des prix et une faible volatilité peuvent opter pour MSFT.

Limitations de l'utilisation de la somme des carrés

Prendre une décision d'investissement sur les actions à acheter nécessite beaucoup plus d'observations que celles énumérées ici. Un analyste peut avoir à travailler avec des années de données pour savoir avec une plus grande certitude à quel point la variabilité d'un actif est élevée ou faible. Au fur et à mesure que d'autres points de données sont ajoutés à l'ensemble, la somme des carrés devient plus grande car les valeurs seront plus étalées.

Les mesures de variation les plus largement utilisées sont l' écart-type et la variance. Cependant, pour calculer l'une ou l'autre des deux métriques, la somme des carrés doit d'abord être calculée. La variance est la moyenne de la somme des carrés (c'est-à-dire la somme des carrés divisée par le nombre d'observations). L'écart type est la racine carrée de la variance.

Il existe deux méthodes d'analyse de régression qui utilisent la somme des carrés : la méthode des moindres carrés linéaires et la méthode des moindres carrés non linéaires. La méthode des moindres carrés fait référence au fait que la fonction de régression minimise la somme des carrés de la variance à partir des points de données réels. De cette façon, il est possible de dessiner une fonction qui fournit statistiquement le meilleur ajustement pour les données. Notez qu'une fonction de régression peut être linéaire (une ligne droite) ou non linéaire (une ligne courbe).

Points forts

• La somme des carrés mesure l'écart des points de données par rapport à la valeur moyenne.

• Un résultat de somme des carrés plus élevé indique un degré élevé de variabilité au sein de l'ensemble de données, tandis qu'un résultat inférieur indique que les données ne s'écartent pas considérablement de la valeur moyenne.