Relation linéaire

Qu'est-ce qu'une relation linéaire ?

Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre deux variables. Les relations linéaires peuvent être exprimées soit dans un format graphique où la variable et la constante sont reliées par une ligne droite, soit dans un format mathématique où la variable indépendante est multipliée par le coefficient de pente, ajouté par une constante, qui détermine la variable dépendante.

Une relation linéaire peut être opposée à une relation polynomiale ou non linéaire (courbe).

L'équation linéaire est :

Mathématiquement, une relation linéaire est une relation qui satisfait l'équation :

$\begin &y = mx + b \ &\textbf{où :}\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

Dans cette équation, "x" et "y" sont deux variables liées par les paramètres "m" et "b". Graphiquement, y = mx + b trace dans le plan xy comme une ligne avec une pente « m » et une ordonnée à l'origine « b ». L'ordonnée à l'origine "b" est simplement la valeur de "y" lorsque x=0. La pente "m" est calculée à partir de deux points individuels (x₁, y₁) et (x₂, y₂) comme :

$<sémantique> m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Que vous dit une relation linéaire ?

Il existe trois ensembles de critères nécessaires qu'une équation doit remplir pour être qualifiée de linéaire : une équation exprimant une relation linéaire ne peut pas être constituée de plus de deux variables, toutes les variables d'une équation doivent être à la première puissance , et l'équation doit représenter une ligne droite.

Une relation linéaire couramment utilisée est une corrélation,. qui décrit à quel point une variable change de façon linéaire par rapport aux changements d'une autre variable.

En économétrie,. la régression linéaire est une méthode souvent utilisée pour générer des relations linéaires pour expliquer divers phénomènes. Il est couramment utilisé pour extrapoler des événements du passé afin de faire des prévisions pour l'avenir. Cependant, toutes les relations ne sont pas linéaires. Certaines données décrivent des relations qui sont courbes (telles que des relations polynomiales) tandis que d'autres données ne peuvent pas être paramétrées.

Fonctions linéaires

Mathématiquement similaire à une relation linéaire est le concept d'une fonction linéaire. Dans une variable, une fonction linéaire peut s'écrire comme suit :

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf{où :}\ &m=\text\ &b=\text{ordonnée à l'origine}\ \end{aligné}</ annotation>$

Ceci est identique à la formule donnée pour une relation linéaire, sauf que le symbole f(x) est utilisé à la place de y. Cette substitution est faite pour mettre en évidence la signification que x est mappé à f(x), alors que le l'utilisation de y indique simplement que x et y sont deux quantités, liées par A et B.

Dans l'étude de l'algèbre linéaire, les propriétés des fonctions linéaires sont largement étudiées et rendues rigoureuses. Étant donné un scalaire C et deux vecteurs A et B de R^N, la définition la plus générale d'une fonction linéaire stipule que : $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Exemples de relations linéaires

Exemple 1

Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne. Prenons par exemple le concept de vitesse. La formule que nous utilisons pour calculer la vitesse est la suivante : le taux de vitesse est la distance parcourue dans le temps. Si quelqu'un dans une fourgonnette Chrysler Town and Country 2007 blanche voyage entre Sacramento et Marysville en Californie, un tronçon de 41,3 milles sur l'autoroute 99, et que le trajet complet prend 40 minutes, elle aura parcouru un peu moins de 60 mph .

Bien qu'il y ait plus de deux variables dans cette équation, il s'agit toujours d'une équation linéaire car l'une des variables sera toujours une constante (distance).

Exemple 2

Une relation linéaire peut également être trouvée dans l'équation distance = taux x temps. Étant donné que la distance est un nombre positif (dans la plupart des cas), cette relation linéaire serait exprimée dans le quadrant supérieur droit d'un graphique avec un axe X et un axe Y.

Si un vélo fait pour deux roulait à une vitesse de 30 miles par heure pendant 20 heures, le cycliste finira par parcourir 600 miles. Représentée graphiquement avec la distance sur l'axe Y et le temps sur l'axe X, une ligne suivant la distance sur ces 20 heures se déplacerait directement à partir de la convergence des axes X et Y.

Exemple 3

Pour convertir Celsius en Fahrenheit, ou Fahrenheit en Celsius, vous utiliserez les équations ci-dessous. Ces équations expriment une relation linéaire sur un graphique :

$\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)$

$\degré F = \frac{9}{5}\degré C + 32$

Exemple 4

Supposons que la variable indépendante est la taille d'une maison (mesurée en pieds carrés) qui détermine le prix du marché d'une maison (la variable dépendante) lorsqu'elle est multipliée par le coefficient de pente de 207,65 et est ensuite ajoutée au terme constant 10 500 $ . Si la superficie en pieds carrés d'une maison est de 1 250, la valeur marchande de la maison est de (1 250 x 207,65) + 10 500 $ = 270 062,50 $. Graphiquement et mathématiquement, il se présente comme suit :

Dans cet exemple, à mesure que la taille de la maison augmente, la valeur marchande de la maison augmente de façon linéaire.

Certaines relations linéaires entre deux objets peuvent être appelées "relation proportionnelle". Cette relation apparaît comme

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf{où :}\ &k=\text\ &Y, X=\text{quantités proportionnelles}\ \end$

Lors de l'analyse de données comportementales, il existe rarement une relation linéaire parfaite entre les variables. Cependant, les lignes de tendance peuvent être trouvées dans les données qui forment une version approximative d'une relation linéaire. Par exemple, vous pouvez considérer les ventes quotidiennes de glaces et la température élevée quotidienne comme les deux variables en jeu dans un graphique et trouver une relation linéaire brute entre les deux.

Points forts

Les relations linéaires peuvent être exprimées soit sous forme graphique, soit sous la forme d'une équation mathématique de la forme y = mx + b.
Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne.
Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre deux variables.