Сумма площадей

Бизнес Корпоративные финансы и бухгалтерский учет Финансовый анализ

Что такое сумма квадратов?

Сумма квадратов — это статистический метод, используемый в регрессионном анализе для определения дисперсии точек данных. В регрессионном анализе цель состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо ряд данных может соответствовать функции, которая может помочь объяснить, как был создан ряд данных. Сумма квадратов используется как математический способ найти функцию, которая лучше всего подходит (наименее варьируется) из данных.

Формула суммы квадратов

$\begin &\text{Для набора } X \text{ из } n \text{ элементов:}\ &amp ;\text{Сумма квадратов}=\sum_^\left(X_i-\overline\right)$

Сумма квадратов также известна как вариация.

О чем говорит сумма квадратов?

Сумма квадратов является мерой отклонения от среднего. В статистике среднее значение представляет собой среднее значение набора чисел и является наиболее часто используемой мерой центральной тенденции. Среднее арифметическое просто вычисляется путем суммирования значений в наборе данных и деления на количество значений.

Допустим, цены закрытия Microsoft (MSFT) за последние пять дней были 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 и 73,40 в долларах США. Сумма общих цен составляет 369,73 доллара, и, таким образом, средняя или средняя цена учебника составит 369,73 доллара / 5 = 73,95 доллара.

Но не всегда достаточно знать среднее значение множества измерений. Иногда полезно знать, насколько велика вариация в наборе измерений. То, насколько далеко отдельные значения отстоят от среднего, может дать некоторое представление о том, насколько наблюдения или значения соответствуют созданной регрессионной модели .

Например, если аналитик хочет знать, движется ли цена акций MSFT в тандеме с ценой Apple (AAPL), он может перечислить набор наблюдений за процессом обеих акций за определенный период, скажем, 1, 2. , или 10 лет и создать линейную модель с каждым записанным наблюдением или измерением. Если взаимосвязь между обеими переменными (т. е. ценой AAPL и ценой MSFT) не является прямой линией, то в наборе данных есть вариации, которые необходимо тщательно изучить.

В статистическом просторечии, если линия в созданной линейной модели не проходит через все измерения стоимости, то некоторая изменчивость, наблюдаемая в ценах на акции, не может быть объяснена. Сумма квадратов используется для вычисления того, существует ли линейная зависимость между двумя переменными, а любая необъяснимая изменчивость называется остаточной суммой квадратов.

Сумма квадратов представляет собой сумму квадрата вариации, где вариация определяется как разброс между каждым отдельным значением и средним значением. Чтобы определить сумму квадратов, расстояние между каждой точкой данных и линией наилучшего соответствия возводится в квадрат, а затем суммируется. Линия наилучшего соответствия минимизирует это значение.

Как вычислить сумму квадратов

Теперь вы понимаете, почему измерение называется суммой квадратов отклонений или, для краткости, суммой квадратов. Используя приведенный выше пример MSFT, сумму квадратов можно рассчитать как:

СС = (74,01 - 73,95)² + (74,77 - 73,95)² + (73,94 - 73,95)² + (73,61 - 73,95)² + (73,40 - 73,95)²
СС = (0,06)² + (0,82)² + (-0,01)² + (-0,34)² + (-0,55)²
СС = 1,0942

Сложение только суммы отклонений без возведения в квадрат приведет к числу, равному или близкому к нулю, поскольку отрицательные отклонения почти полностью компенсируют положительные отклонения. Чтобы получить более реалистичное число, необходимо возвести сумму отклонений в квадрат. Сумма квадратов всегда будет положительным числом, потому что квадрат любого числа, положительного или отрицательного, всегда положителен.

Пример использования суммы квадратов

Основываясь на результатах расчета MSFT, большая сумма квадратов указывает на то, что большинство значений дальше от среднего, и, следовательно, в данных существует большая изменчивость. Низкая сумма квадратов относится к низкой изменчивости в наборе наблюдений.

В приведенном выше примере значение 1,0942 показывает, что изменчивость курса акций MSFT за последние пять дней очень низкая, и инвесторы, желающие инвестировать в акции, характеризующиеся ценовой стабильностью и низкой волатильностью,. могут выбрать MSFT.

Ограничения использования суммы квадратов

Принятие инвестиционного решения о том, какие акции покупать, требует гораздо больше наблюдений, чем перечисленные здесь. Аналитику, возможно, придется работать с годами данных, чтобы с большей уверенностью знать, насколько высока или низка изменчивость актива. Чем больше точек данных добавляется к набору, тем больше сумма квадратов, поскольку значения будут более разбросаны.

Наиболее широко используемыми измерениями вариации являются стандартное отклонение и дисперсия. Однако для расчета любой из двух метрик сначала необходимо вычислить сумму квадратов. Дисперсия представляет собой среднее значение суммы квадратов (т. е. суммы квадратов, деленной на количество наблюдений). Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

Существует два метода регрессионного анализа, в которых используется сумма квадратов: линейный метод наименьших квадратов и нелинейный метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов относится к тому факту, что функция регрессии минимизирует сумму квадратов отклонения от фактических точек данных. Таким образом, можно нарисовать функцию, которая статистически обеспечивает наилучшее соответствие данным. Обратите внимание, что функция регрессии может быть либо линейной (прямая линия), либо нелинейной (изогнутая линия).

Особенности

Сумма квадратов измеряет отклонение точек данных от среднего значения.
Более высокий результат суммы квадратов указывает на большую степень изменчивости в наборе данных, а более низкий результат указывает на то, что данные существенно не отличаются от среднего значения.