वर्गों का योग

वर्गों का योग क्या है?

वर्गों का योग एक सांख्यिकीय तकनीक है जिसका उपयोग डेटा बिंदुओं के फैलाव को निर्धारित करने के लिए प्रतिगमन विश्लेषण में किया जाता है। एक प्रतिगमन विश्लेषण में, लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि डेटा श्रृंखला को किसी फ़ंक्शन में कितनी अच्छी तरह फिट किया जा सकता है जो यह समझाने में मदद कर सकता है कि डेटा श्रृंखला कैसे उत्पन्न हुई थी। वर्गों के योग का उपयोग उस फ़ंक्शन को खोजने के लिए गणितीय तरीके के रूप में किया जाता है जो डेटा से सबसे उपयुक्त (कम से कम भिन्न) होता है।

वर्गों के योग का सूत्र है

$\begin{aligned} एक सेट के लिए X < mi>n आइटम: \\ <mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true" & वर्गों का योग</ mtext >=\sum i = 0 </ mrow > n>^{- <mover उच्चारण="true"> X "true">) 2} \\ <mstyle scriptlevel ="0" डिस्प्लेस्टाइल ="true"> & कहां: \\ </ mrow> & X_{i} = द i^{t h} आइटम सेट में \\ <mover उच्चारण="true"> X सेट \\ </ mstyle> & <mofenence="true">(X_{मैं< /mi>} - \overline{X} <mo बाड़="true">) = प्रत्येक वस्तु का माध्य से विचलन \end{aligned} <एनोटेशन एन्कोडिंग = "एप्लिकेशन/एक्स-टेक्स"> \ start {संरेखित} और amp; \ टेक्स्ट {एक सेट के लिए } एक्स \ टेक्स्ट एन \ टेक्स्ट {आइटम:} \ और amp ;\पाठ{वर्गों का योग}=\sum_^\बाएं(X_i-\overline\right)$

वर्गों के योग को भिन्नता के रूप में भी जाना जाता है।

वर्गों का योग आपको क्या बताता है?

वर्गों का योग माध्य से विचलन का माप है। आँकड़ों में, माध्य संख्याओं के एक समूह का औसत है और केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला माप है । अंकगणित माध्य की गणना केवल डेटा सेट में मानों को जोड़कर और मानों की संख्या से विभाजित करके की जाती है।

बता दें कि पिछले पांच दिनों में माइक्रोसॉफ्ट (एमएसएफटी) की क्लोजिंग कीमत अमेरिकी डॉलर में 74.01, 74.77, 73.94, 73.61 और 73.40 थी। कुल कीमतों का योग $369.73 है और इस प्रकार पाठ्यपुस्तक का औसत या औसत मूल्य $369.73 / 5 = $73.95 होगा।

लेकिन माप सेट का मतलब जानना हमेशा पर्याप्त नहीं होता है। कभी-कभी, यह जानना उपयोगी होता है कि माप के एक सेट में कितनी भिन्नता है। अलग-अलग मान माध्य से कितने दूर हैं, इस बारे में कुछ जानकारी दे सकते हैं कि बनाए गए प्रतिगमन मॉड डेल के लिए अवलोकन या मान कितने फिट हैं ।

उदाहरण के लिए, यदि कोई विश्लेषक यह जानना चाहता है कि क्या MSFT का शेयर मूल्य Apple (AAPL) की कीमत के अनुरूप चलता है, तो वे एक निश्चित अवधि के लिए दोनों शेयरों की प्रक्रिया के लिए टिप्पणियों के सेट को सूचीबद्ध कर सकते हैं, जैसे 1, 2 , या 10 साल और रिकॉर्ड किए गए प्रत्येक अवलोकन या माप के साथ एक रैखिक मॉडल बनाएं। यदि दोनों चरों (यानी, एएपीएल की कीमत और एमएसएफटी की कीमत) के बीच संबंध एक सीधी रेखा नहीं है, तो डेटा सेट में भिन्नताएं हैं जिनकी जांच की जानी चाहिए।

स्थानीय भाषा के आँकड़ों में, यदि निर्मित रैखिक मॉडल में रेखा मूल्य के सभी मापों से नहीं गुजरती है, तो शेयर की कीमतों में देखी गई कुछ परिवर्तनशीलता अस्पष्ट है। वर्गों के योग का उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि क्या दो चर के बीच एक रैखिक संबंध मौजूद है, और किसी भी अस्पष्टीकृत परिवर्तनशीलता को वर्गों के अवशिष्ट योग के रूप में संदर्भित किया जाता है ।

वर्गों का योग भिन्नता के वर्ग का योग होता है, जहां भिन्नता को प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच के फैलाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्गों का योग निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक डेटा बिंदु और सर्वोत्तम फिट की रेखा के बीच की दूरी को चुकता किया जाता है और फिर सारांशित किया जाता है। सर्वोत्तम फिट की रेखा इस मान को कम कर देगी।

वर्गों के योग की गणना कैसे करें

अब आप देख सकते हैं कि माप को वर्ग विचलनों का योग या संक्षेप में वर्गों का योग क्यों कहा जाता है। ऊपर दिए गए हमारे MSFT उदाहरण का उपयोग करते हुए, वर्गों के योग की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

एसएस = (74.01 - 73.95)² + (74.77 - 73.95)² + (73.94 - 73.95)² + (73.61 - 73.95)² + (73.40 - 73.95)²
एसएस = (0.06) ² + (0.82)² + (-0.01)² + (-0.34)² + (-0.55)²
एसएस = 1.0942

केवल विचलनों के योग को बिना चुकता किए जोड़ने पर एक संख्या शून्य के बराबर या उसके करीब हो जाएगी क्योंकि ऋणात्मक विचलन सकारात्मक विचलनों को लगभग पूरी तरह से ऑफसेट कर देगा। अधिक यथार्थवादी संख्या प्राप्त करने के लिए, विचलनों का योग चुकता होना चाहिए। वर्गों का योग हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी क्योंकि किसी भी संख्या का वर्ग, चाहे वह धनात्मक हो या ऋणात्मक, हमेशा धनात्मक होता है।

वर्गों के योग का उपयोग करने का उदाहरण

MSFT गणना के परिणामों के आधार पर, वर्गों का एक उच्च योग इंगित करता है कि अधिकांश मान माध्य से बहुत दूर हैं, और इसलिए, डेटा में बड़ी परिवर्तनशीलता है। वर्गों का कम योग प्रेक्षणों के समुच्चय में कम परिवर्तनशीलता को दर्शाता है।

उपरोक्त उदाहरण में, 1.0942 दर्शाता है कि पिछले पांच दिनों में MSFT के स्टॉक मूल्य में परिवर्तनशीलता बहुत कम है और स्टॉक में निवेश करने के इच्छुक निवेशकों को मूल्य स्थिरता की विशेषता है और कम अस्थिरता MSFT का विकल्प चुन सकती है।

वर्गों के योग के उपयोग की सीमाएं

किस स्टॉक को खरीदना है, इस पर निवेश का निर्णय लेने के लिए यहां सूचीबद्ध लोगों की तुलना में कई अधिक टिप्पणियों की आवश्यकता होती है। एक विश्लेषक को उच्च निश्चितता के साथ यह जानने के लिए वर्षों के डेटा के साथ काम करना पड़ सकता है कि किसी परिसंपत्ति की परिवर्तनशीलता कितनी उच्च या निम्न है। जैसे-जैसे अधिक डेटा बिंदु सेट में जोड़े जाते हैं, वर्गों का योग बड़ा होता जाता है क्योंकि मान अधिक फैलेंगे।

भिन्नता के सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले माप मानक विचलन और विचरण हैं । हालांकि, दो मेट्रिक्स में से किसी एक की गणना करने के लिए, पहले वर्गों के योग की गणना की जानी चाहिए। विचरण वर्गों के योग का औसत है (अर्थात, प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित वर्गों का योग)। मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।

प्रतिगमन विश्लेषण के दो तरीके हैं जो वर्गों के योग का उपयोग करते हैं: रैखिक कम से कम वर्ग विधि और गैर-रैखिक कम से कम वर्ग विधि। कम से कम वर्ग विधि इस तथ्य को संदर्भित करती है कि प्रतिगमन फ़ंक्शन वास्तविक डेटा बिंदुओं से विचरण के वर्गों के योग को कम करता है। इस तरह, एक ऐसा फ़ंक्शन बनाना संभव है जो सांख्यिकीय रूप से डेटा के लिए सबसे अच्छा फिट प्रदान करता है। ध्यान दें कि एक प्रतिगमन फ़ंक्शन या तो रैखिक (एक सीधी रेखा) या गैर-रेखीय (एक घुमावदार रेखा) हो सकता है।

##हाइलाइट

वर्गों का योग माध्य मान से दूर डेटा बिंदुओं के विचलन को मापता है।
एक उच्च सम-ऑफ-स्क्वायर परिणाम डेटा सेट के भीतर बड़ी मात्रा में परिवर्तनशीलता को इंगित करता है, जबकि कम परिणाम इंगित करता है कि डेटा औसत मूल्य से काफी भिन्न नहीं होता है।