Summan av kvadrater

Vad är summan av kvadrater?

Summa av kvadrater är en statistisk teknik som används i regressionsanalys för att bestämma spridningen av datapunkter. I en regressionsanalys är målet att bestämma hur väl en dataserie kan anpassas till en funktion som kan hjälpa till att förklara hur dataserien genererades. Summa av kvadrater används som ett matematiskt sätt att hitta den funktion som bäst passar (varierar minst) från data.

Formeln för summan av kvadrater är

$\begin &\text{För en uppsättning } X \text n \text\ &amp ;\text=\sum_^\left(X_i-\överlinje\right)$

Summan av kvadrater är också känd som variation.

Vad säger summan av kvadrater dig?

Summan av kvadrater är ett mått på avvikelsen från medelvärdet. I statistik är medelvärdet medelvärdet av en uppsättning siffror och är det vanligaste måttet på central tendens. Det aritmetiska medelvärdet beräknas helt enkelt genom att summera värdena i datamängden och dividera med antalet värden.

Låt oss säga att stängningspriserna för Microsoft (MSFT) under de senaste fem dagarna var 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 och 73,40 i amerikanska dollar. Summan av de totala priserna är $369,73 och medel- eller medelpriset för läroboken skulle därmed vara $369,73 / 5 = $73,95.

Men det räcker inte alltid att känna till medelvärdet för en mätuppsättning. Ibland är det bra att veta hur stor variation det finns i en uppsättning mått. Hur långt ifrån de enskilda värdena är från medelvärdet kan ge en viss insikt i hur passande observationerna eller värdena är till den regressionsmodell som skapas.

Till exempel, om en analytiker ville veta om aktiekursen på MSFT rör sig i takt med Apples (AAPL) pris, kan de lista ut uppsättningen observationer för processen för båda aktierna under en viss period, säg 1, 2 , eller 10 år och skapa en linjär modell med var och en av observationerna eller mätningarna registrerade. Om förhållandet mellan båda variablerna (dvs. priset på AAPL och priset på MSFT) inte är en rak linje, så finns det variationer i datamängden som måste granskas.

I statistikspråket, om linjen i den skapade linjära modellen inte går igenom alla värdemätningar, är en del av variationen som har observerats i aktiekurserna oförklarad. Summan av kvadrater används för att beräkna om det finns ett linjärt samband mellan två variabler, och varje oförklarad variabilitet kallas restsumman av kvadrater.

Summan av kvadrater är summan av kvadraten av variation, där variation definieras som spridningen mellan varje enskilt värde och medelvärdet. För att bestämma summan av kvadrater kvadreras avståndet mellan varje datapunkt och linjen med bästa passform och summeras sedan. Linjen med bästa passform kommer att minimera detta värde.

Hur man beräknar summan av kvadrater

Nu kan du se varför måttet kallas summan av kvadratavvikelser, eller summan av kvadrater för kort. Med hjälp av vårt MSFT-exempel ovan kan summan av kvadrater beräknas som:

SS = (74,01 - 73,95)² + (74,77 - 73,95)² + (73,94 - 73,95)² + (73,61 - 73,95)² + (73,40 - 73,95)²
SS = (0,06) ² + (0,82)² + (-0,01)² + (-0,34)² + (-0,55)²
SS = 1,0942

Att enbart addera summan av avvikelserna utan att kvadrera kommer att resultera i ett tal lika med eller nära noll eftersom de negativa avvikelserna nästan perfekt kompenserar de positiva avvikelserna. För att få ett mer realistiskt tal måste summan av avvikelserna kvadreras. Summan av kvadrater kommer alltid att vara ett positivt tal eftersom kvadraten på ett tal, oavsett om det är positivt eller negativt, alltid är positivt.

Exempel på hur man använder summan av kvadrater

Baserat på resultaten av MSFT-beräkningen indikerar en hög summa av kvadrater att de flesta av värdena är längre bort från medelvärdet, och därför finns det stor variation i data. En låg summa av kvadrater hänvisar till låg variabilitet i uppsättningen av observationer.

I exemplet ovan visar 1,0942 att variationen i aktiekursen för MSFT under de senaste fem dagarna är mycket låg och investerare som vill investera i aktier som kännetecknas av prisstabilitet och låg volatilitet kan välja MSFT.

Begränsningar för att använda summan av kvadrater

Att fatta ett investeringsbeslut om vilken aktie som ska köpas kräver många fler observationer än de som listas här. En analytiker kan behöva arbeta med år av data för att med högre säkerhet veta hur hög eller låg variabiliteten hos en tillgång är. När fler datapunkter läggs till i uppsättningen blir summan av kvadrater större eftersom värdena blir mer utspridda.

De mest använda måtten på variation är standardavvikelsen och variansen. Men för att beräkna någon av de två måtten måste summan av kvadrater först beräknas. Variansen är medelvärdet av summan av kvadrater (dvs summan av kvadrater dividerat med antalet observationer). Standardavvikelsen är kvadratroten av variansen.

Det finns två metoder för regressionsanalys som använder summan av kvadrater: den linjära minsta kvadratmetoden och den icke-linjära minsta kvadratmetoden. Minsta kvadratmetoden hänvisar till det faktum att regressionsfunktionen minimerar summan av kvadraterna av variansen från de faktiska datapunkterna. På så sätt är det möjligt att rita en funktion som statistiskt ger den bästa passformen för datan. Observera att en regressionsfunktion antingen kan vara linjär (en rät linje) eller icke-linjär (en krökt linje).

Höjdpunkter

Summan av kvadrater mäter avvikelsen för datapunkter bort från medelvärdet.
Ett högre kvadratsummaresultat indikerar en stor grad av variabilitet inom datamängden, medan ett lägre resultat indikerar att data inte avviker avsevärt från medelvärdet.