Linjärt förhållande

Vad är ett linjärt förhållande?

Ett linjärt samband (eller linjär association) är en statistisk term som används för att beskriva ett linjärt samband mellan två variabler. Linjära samband kan uttryckas antingen i ett grafiskt format där variabeln och konstanten är kopplade via en rät linje eller i ett matematiskt format där den oberoende variabeln multipliceras med lutningskoefficienten, adderad med en konstant, som bestämmer den beroende variabeln.

Ett linjärt samband kan jämföras med ett polynom eller icke-linjärt (krökt) förhållande.

Den linjära ekvationen är:

Matematiskt är ett linjärt samband ett som uppfyller ekvationen:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf{där:}\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

I denna ekvation är "x" och "y" två variabler som är relaterade av parametrarna "m" och "b". Grafiskt plottar y = mx + b i xy-planet som en linje med lutningen "m" och y-skärningen "b". Y-avsnittet "b" är helt enkelt värdet på "y" när x=0. Lutningen "m" beräknas från två valfria individuella punkter (x₁, y₁) och (x₂, y₂) som:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <annotationskodning ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Vad säger ett linjärt förhållande till dig?

Det finns tre uppsättningar nödvändiga kriterier som en ekvation måste uppfylla för att kvalificera sig som en linjär: en ekvation som uttrycker ett linjärt samband kan inte bestå av mer än två variabler, alla variabler i en ekvation måste vara i första potens , och ekvationen måste ritas som en rät linje.

Ett vanligt använt linjärt samband är en korrelation,. som beskriver hur nära linjärt mode en variabel förändras som relaterad till förändringar i en annan variabel.

Inom ekonometri är linjär regression en ofta använd metod för att skapa linjära samband för att förklara olika fenomen. Det används ofta för att extrapolera händelser från det förflutna för att göra prognoser för framtiden. Alla relationer är dock inte linjära. Vissa data beskriver relationer som är krökta (som polynomrelationer) medan andra data inte kan parametriseras.

Linjära funktioner

Matematiskt liknar ett linjärt samband begreppet linjär funktion. I en variabel kan en linjär funktion skrivas på följande sätt:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf{där:}\ &m=\text\ &b=\text\ \end</ annotation>$

Detta är identiskt med den givna formeln för ett linjärt samband förutom att symbolen f(x) används i stället för y. Denna ersättning görs för att markera betydelsen av att x mappas till f(x), medan användning av y indikerar helt enkelt att x och y är två storheter, relaterade till A och B.

I studiet av linjär algebra studeras egenskaperna hos linjära funktioner omfattande och görs rigorösa. Givet ett skalärt C och två vektorer A och B från R^N, säger den mest allmänna definitionen av en linjär funktion att: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Exempel på linjära relationer

Exempel 1

Linjära relationer är ganska vanliga i det dagliga livet. Låt oss ta begreppet hastighet till exempel. Formeln vi använder för att beräkna hastigheten är följande: hastigheten är den sträcka som tillryggalagts över tiden. Om någon i en vit Chrysler Town and Country minibuss 2007 reser mellan Sacramento och Marysville i Kalifornien, en sträcka på 41,3 mil på Highway 99, och hela resan tar 40 minuter, kommer hon att ha åkt strax under 60 mph .

Även om det finns mer än två variabler i denna ekvation, är det fortfarande en linjär ekvation eftersom en av variablerna alltid kommer att vara en konstant (avstånd).

Exempel 2

Ett linjärt samband kan också hittas i ekvationen avstånd = hastighet x tid. Eftersom avståndet är ett positivt tal (i de flesta fall), skulle detta linjära samband uttryckas i den övre högra kvadranten av en graf med en X- och Y-axel.

Om en cykel gjord för två färdades med en hastighet av 30 miles per timme i 20 timmar, kommer föraren att resa 600 miles. Representerad grafiskt med avståndet på Y-axeln och tiden på X-axeln, skulle en linje som spårar avståndet över dessa 20 timmar resa rakt ut från konvergensen av X- och Y-axeln.

Exempel 3

För att konvertera Celsius till Fahrenheit, eller Fahrenheit till Celsius, skulle du använda ekvationerna nedan. Dessa ekvationer uttrycker ett linjärt samband på en graf:

$\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)$

$\grad F = \frac{9}{5}\grad C + 32$

Exempel 4

Antag att den oberoende variabeln är storleken på ett hus (mätt i kvadratmeter) som bestämmer marknadspriset på ett hem (den beroende variabeln) när det multipliceras med lutningskoefficienten 207,65 och sedan läggs till den konstanta termen 10 500 $ . Om ett hems kvadratmeter är 1 250 så är marknadsvärdet på bostaden (1 250 x 207,65) + 10 500 USD = 270 062,50 USD. Grafiskt och matematiskt ser det ut som följer:

I det här exemplet, när husets storlek ökar, ökar husets marknadsvärde på ett linjärt sätt.

Vissa linjära relationer mellan två objekt kan kallas ett "proportionellt förhållande". Detta förhållande framstår som

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf{där:}\ &k=\text\ &Y, X=\text\ \end$

När man analyserar beteendedata finns det sällan ett perfekt linjärt samband mellan variabler. Men trendlinjer kan hittas i data som bildar en grov version av ett linjärt samband. Till exempel kan du titta på den dagliga försäljningen av glass och den dagliga höga temperaturen som de två variablerna som spelar in i en graf och hitta ett grovt linjärt samband mellan de två.

Höjdpunkter

Linjära samband kan uttryckas antingen i ett grafiskt format eller som en matematisk ekvation av formen y = mx + b.

– Linjära relationer är ganska vanliga i det dagliga livet.

Ett linjärt samband (eller linjär association) är en statistisk term som används för att beskriva ett linjärt samband mellan två variabler.