Lineare Beziehung

Was ist eine lineare Beziehung?

Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der verwendet wird, um eine geradlinige Beziehung zwischen zwei Variablen zu beschreiben. Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format ausgedrückt werden, in dem die Variable und die Konstante über eine gerade Linie verbunden sind, oder in einem mathematischen Format, in dem die unabhängige Variable mit dem Steigungskoeffizienten multipliziert wird, der mit einer Konstante addiert wird, wodurch die abhängige Variable bestimmt wird.

Eine lineare Beziehung kann einer polynomialen oder nichtlinearen (gekrümmten) Beziehung gegenübergestellt werden.

Die lineare Gleichung lautet:

Mathematisch gesehen ist eine lineare Beziehung eine, die die folgende Gleichung erfüllt:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

In dieser Gleichung sind „x“ und „y“ zwei Variablen, die durch die Parameter „m“ und „b“ in Beziehung stehen. Grafisch wird y = mx + b in der xy-Ebene als Linie mit Steigung „m“ und y-Achsenabschnitt „b“ dargestellt. Der y-Achsenabschnitt „b“ ist einfach der Wert von „y“, wenn x=0 ist. Die Steigung „m“ errechnet sich aus zwei beliebigen Einzelpunkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) wie folgt:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <Anmerkungscodierung ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Was sagt Ihnen eine lineare Beziehung?

Es gibt drei Sätze von notwendigen Kriterien, die eine Gleichung erfüllen muss, um sich als linear zu qualifizieren: Eine Gleichung, die eine lineare Beziehung ausdrückt, kann nicht aus mehr als zwei Variablen bestehen, alle Variablen in einer Gleichung müssen in der ersten Potenz stehen , und die Gleichung muss als gerade Linie dargestellt werden.

Eine häufig verwendete lineare Beziehung ist eine Korrelation,. die beschreibt, wie linear sich eine Variable in Bezug auf Änderungen einer anderen Variablen ändert.

In der Ökonometrie ist die lineare Regression eine häufig verwendete Methode zur Erzeugung linearer Beziehungen zur Erklärung verschiedener Phänomene. Es wird häufig verwendet, um Ereignisse aus der Vergangenheit zu extrapolieren, um Vorhersagen für die Zukunft zu treffen. Nicht alle Beziehungen sind jedoch linear. Einige Daten beschreiben gekrümmte Beziehungen (z. B. Polynombeziehungen), während wieder andere Daten nicht parametrisiert werden können.

Lineare Funktionen

Mathematisch ähnlich einer linearen Beziehung ist das Konzept einer linearen Funktion. In eine Variable kann eine lineare Funktion wie folgt geschrieben werden:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text\ \end</ Anmerkung>$

Dies ist identisch mit der angegebenen Formel für eine lineare Beziehung, außer dass das Symbol f(x) anstelle von y. verwendet wird. Diese Ersetzung wird vorgenommen, um die Bedeutung hervorzuheben, dass x auf f(x) abgebildet wird, während die Die Verwendung von y zeigt einfach an, dass x und y zwei Größen sind, die durch A und B in Beziehung stehen.

Beim Studium der linearen Algebra werden die Eigenschaften linearer Funktionen ausführlich untersucht und rigoros gemacht. Bei einem Skalar C und zwei Vektoren A und B von R^N lautet die allgemeinste Definition einer linearen Funktion: $c \times f( A + B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Beispiele für lineare Beziehungen

Beispiel 1

Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben ziemlich verbreitet. Nehmen wir zum Beispiel das Konzept der Geschwindigkeit. Die Formel, die wir verwenden, um die Geschwindigkeit zu berechnen, lautet wie folgt: Die Geschwindigkeitsrate ist die zurückgelegte Strecke über die Zeit. Wenn jemand in einem weißen 2007er Chrysler Town and Country-Minivan zwischen Sacramento und Marysville in Kalifornien unterwegs ist, eine 41,3-Meilen-Strecke auf dem Highway 99, und die gesamte Fahrt am Ende 40 Minuten dauert, wird sie knapp unter 60 Meilen pro Stunde gefahren sein

Obwohl es mehr als zwei Variablen in dieser Gleichung gibt, ist es immer noch eine lineare Gleichung, weil eine der Variablen immer eine Konstante (Abstand) sein wird.

Beispiel 2

Ein linearer Zusammenhang findet sich auch in der Gleichung Weg = Geschwindigkeit x Zeit. Da der Abstand (in den meisten Fällen) eine positive Zahl ist, würde diese lineare Beziehung im oberen rechten Quadranten eines Diagramms mit einer X- und Y-Achse ausgedrückt.

Wenn ein Fahrrad für zwei Personen 20 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 Meilen pro Stunde gefahren ist, fährt der Fahrer am Ende 600 Meilen. Grafisch mit der Entfernung auf der Y-Achse und der Zeit auf der X-Achse dargestellt, würde eine Linie, die die Entfernung über diese 20 Stunden verfolgt, direkt von der Konvergenz der X- und Y-Achse ausgehen.

Beispiel 3

Um Celsius in Fahrenheit oder Fahrenheit in Celsius umzurechnen, würden Sie die folgenden Gleichungen verwenden. Diese Gleichungen drücken eine lineare Beziehung in einem Diagramm aus:

$\grad C = \frac{5}{9}(\grad F - 32)$

$\Grad F = \frac{9}{5}\Grad C + 32$ 59 °C< /span>+32

Beispiel 4

Angenommen, die unabhängige Variable ist die Größe eines Hauses (gemessen in Quadratmetern), die den Marktpreis eines Hauses (die abhängige Variable) bestimmt, wenn sie mit dem Steigungskoeffizienten von 207,65 multipliziert und dann zum konstanten Begriff 10.500 $ addiert wird . Wenn die Quadratmeterzahl eines Hauses 1.250 beträgt, beträgt der Marktwert des Hauses (1.250 x 207,65) + 10.500 USD = 270.062,50 USD. Grafisch und mathematisch sieht es wie folgt aus:

In diesem Beispiel steigt der Marktwert des Hauses mit zunehmender Größe des Hauses linear an.

Einige lineare Beziehungen zwischen zwei Objekten können als "proportionale Beziehung" bezeichnet werden. Diese Beziehung erscheint als

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf\ &k=\text\ &Y, X=\text{proportionale Größen}\ \end$

Bei der Analyse von Verhaltensdaten gibt es selten eine perfekte lineare Beziehung zwischen Variablen. Trendlinien können jedoch in Daten gefunden werden, die eine grobe Version einer linearen Beziehung darstellen. Beispielsweise könnten Sie den täglichen Verkauf von Eiscreme und die tägliche Höchsttemperatur als die beiden Variablen in einem Diagramm betrachten und eine grobe lineare Beziehung zwischen den beiden finden.

Höhepunkte

Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format oder als mathematische Gleichung der Form y = mx + b ausgedrückt werden.
Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben ziemlich verbreitet.
Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der verwendet wird, um eine geradlinige Beziehung zwischen zwei Variablen zu beschreiben.