二項オプション価格モデル

トレーディングオプションとデリバティブの取引 Options and Derivatives

##二項オプション価格モデルとは何ですか？

二項オプション価格モデルは、1979年に開発されたオプション評価方法です。二項オプション価格モデルは、評価日とオプションの有効期限の間の期間中にノードまたは時点を指定できるようにする反復手順を使用します。

このモデルは、価格変更の可能性を減らし、裁定取引の可能性を排除します。二項ツリーの単純化された例は、次のようになります。

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##二項オプション価格モデルの基本

二項オプション価格モデルでは、2つの可能な結果、つまりモデルの二項部分があると想定されます。価格設定モデルでは、2つの結果は上に移動するか下に移動します。二項オプション価格モデルの主な利点は、数学的に単純なことです。しかし、これらのモデルは、複数期間モデルでは複雑になる可能性があります。

ブラックショールズモデルとは対照的に、二項モデルでは、各期間で可能な結果の範囲とともに、資産と複数の期間のオプションを計算できます（以下を参照）。

この複数期間ビューの利点は、ユーザーが期間ごとの資産価格の変化を視覚化し、さまざまな時点で行われた決定に基づいてオプションを評価できることです。有効期限前であればいつでも行使できる米国ベースのオプションの場合、二項モデルは、オプションを行使することが推奨される時期と、それを長期間保持する必要がある時期についての洞察を提供できます。

の二項ツリーを確認することで、エクササイズの決定がいつ行われるかを事前に判断できます。オプションの値が正の場合、行使される可能性がありますが、オプションの値がゼロ未満の場合は、より長い期間保持する必要があります。

##二項モデルを使用した価格の計算

二項オプションモデルを計算する基本的な方法は、オプションの有効期限が切れるまで、成功と失敗の期間ごとに同じ確率を使用することです。ただし、トレーダーは、時間の経過とともに取得した新しい情報に基づいて、期間ごとに異なる確率を組み込むことができます。

アメリカンオプションと埋め込みオプションの価格を設定するときに便利なツールです。その単純さは、同時にその長所と短所です。ツリーは機械的にモデル化するのは簡単ですが、問題は、原資産の可能な値が1つの期間にかかる可能性があることにあります。二項ツリーモデルでは、資産は任意の範囲内の任意の数の値に値する可能性があるため、基礎となる資産は2つの可能な値の1つにのみ値する可能性があります。これは現実的ではありません。

たとえば、原資産価格が1つの期間で30％上昇または下降する可能性が50/50である可能性があります。ただし、第2期については、原資産価格が上昇する確率は70/30に上昇する可能性があります。

たとえば、投資家が油井を評価している場合、その投資家はその油井の価値が何であるかはわかりませんが、価格が上がる可能性は50/50です。期間1で石油価格が上昇し、石油の価値が高まり、市場のファンダメンタルズが石油価格の継続的な上昇を示している場合、価格がさらに上昇する可能性は70％になる可能性があります。二項モデルは、この柔軟性を可能にします。ブラックショールズモデルはそうではありません。

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##二項オプション価格モデルの実際の例

二項ツリーの単純化された例には、 1つのステップしかありません。 1株あたり100ドルの価格の株があると仮定します。 1か月で、この株の価格は10ドル上がるか、10ドル下がって、次のような状況になります。

-株価=$ 100

-** 1か月の株価（上昇状態）** = $ 110

-** 1か月の株価（ダウン状態）** = $ 90

次に、この株式で利用可能なコールオプションがあり、1か月で有効期限が切れ、行使価格が100ドルであると想定します。アップ状態では、このコールオプションは$ 10の価値があり、ダウン状態では、$0の価値があります。二項モデルは、コールオプションの今日の価格を計算できます。

簡略化のために、投資家が株式の半分を購入し、1つのコールオプションを作成または販売するとします。今日の総投資額は、1株の半分の価格からオプションの価格を差し引いたものであり、月末に考えられる見返りは次のとおりです。

-今日のコスト=$50-オプション価格

-ポートフォリオ値（アップ状態）= $ 55-最大（$ 110-$ 100、0）= $ 45

-ポートフォリオ値（ダウン状態）= $ 45-最大（$ 90-$ 100、0）= $ 45

株価がどのように変動しても、ポートフォリオのペイオフは等しくなります。この結果を考えると、裁定取引の機会がないと仮定すると、投資家はその月の間にリスクフリーレートを獲得する必要があります。今日のコストは、1か月間無リスク金利で割り引かれたペイオフと等しくなければなりません。したがって、解く方程式は次のとおりです。

-オプション価格=$ 50-$ 45 xe ^（-リスクフリーレートx T）、ここでeは数学定数2.7183です。

リスクフリーレートが年間3％で、Tが0.0833（1を12で割ったもの）に等しいと仮定すると、今日のコールオプションの価格は5.11ドルになります。

二項オプション価格モデルは、ブラックショールズモデルに比べてオプション売り手に2つの利点をもたらします。 1つ目は、その単純さです。これにより、商用アプリケーションでのエラーが少なくなります。 2つ目は、バイヤーが裁定取引戦略を実行する機会を減らすためにタイムリーに価格を調整する反復操作です。

たとえば、一定期間内の各ノードのデリバティブの評価のストリームを提供するため、購入日から有効期限までのいつでも実行できるアメリカンオプションなどのデリバティブの評価に役立ちます。また、ブラックショールズモデルなどの他の価格設定モデルよりもはるかにシンプルです。

##ハイライト

-このモデルは直感的で、よく知られているブラックショールズモデルよりも実際に頻繁に使用されます。

-モデルでは、反復ごとに2つの可能な結果があります。二項ツリーに続く上への移動または下への移動です。

-二項オプション価格モデルは、複数の期間を利用してアメリカのオプションを評価する反復アプローチを使用してオプションを評価します。