Dwumianowy model wyceny opcji
Co to jest dwumianowy model wyceny opcji?
Dwumianowy model wyceny opcji to metoda wyceny opcji opracowana w 1979 roku. Dwumianowy model wyceny opcji wykorzystuje procedurę iteracyjną, pozwalającą na określenie węzłów lub punktów w czasie w przedziale czasu między datą wyceny a datą wygaśnięcia opcji.
Model ogranicza możliwości zmian cen i eliminuje możliwość arbitrażu. Uproszczony przykład drzewa dwumianowego może wyglądać mniej więcej tak:
Podstawy dwumianowego modelu wyceny opcji
W przypadku dwumianowych modeli cen opcji zakłada się, że możliwe są dwa wyniki — stąd dwumianowa część modelu. W przypadku modelu cenowego dwa wyniki to ruch w górę lub ruch w dół. Główną zaletą dwumianowego modelu wyceny opcji jest to, że są one matematycznie proste. Jednak modele te mogą stać się złożone w modelu wielookresowym.
W przeciwieństwie do modelu Blacka-Scholesa,. który zapewnia wynik liczbowy na podstawie danych wejściowych, model dwumianowy pozwala na obliczenie aktywa i opcji dla wielu okresów wraz z zakresem możliwych wyników dla każdego okresu (patrz poniżej).
Zaletą tego wielookresowego widoku jest to, że użytkownik może wizualizować zmianę ceny aktywów z okresu na okres i oceniać opcję na podstawie decyzji podjętych w różnych momentach. W przypadku opcji z siedzibą w USA , którą można zrealizować w dowolnym momencie przed datą wygaśnięcia,. model dwumianowy może zapewnić wgląd w to, kiedy wykonanie opcji może być wskazane, a kiedy należy ją utrzymywać przez dłuższe okresy.
Patrząc na dwumianowe drzewo wartości, trader może z góry określić, kiedy może nastąpić decyzja dotycząca ćwiczenia . Jeśli opcja ma wartość dodatnią, istnieje możliwość wykonania, natomiast jeśli opcja ma wartość mniejszą od zera, powinna być utrzymana przez dłuższe okresy.
Obliczanie ceny za pomocą modelu dwumianowego
Podstawową metodą obliczania dwumianowego modelu opcji jest wykorzystanie tego samego prawdopodobieństwa w każdym okresie sukcesu i niepowodzenia aż do wygaśnięcia opcji. Trader może jednak uwzględnić różne prawdopodobieństwa dla każdego okresu w oparciu o nowe informacje uzyskane w miarę upływu czasu.
Drzewo dwumianowe jest użytecznym narzędziem przy wycenie opcji amerykańskich i opcji wbudowanych. Jego prostota jest jednocześnie jego zaletą i wadą. Drzewo jest łatwe do wymodelowania mechanicznie, ale problem tkwi w możliwych wartościach bazowego zasobu, które mogą zająć w jednym okresie czasu. W modelu drzewa dwumianowego zasób bazowy może być wart dokładnie tylko jednej z dwóch możliwych wartości, co nie jest realistyczne, ponieważ aktywa mogą być warte dowolną liczbę wartości w danym zakresie.
Na przykład może istnieć szansa 50/50, że cena aktywów bazowych może wzrosnąć lub spaść o 30 procent w jednym okresie. Jednak w drugim okresie prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywów bazowych może wzrosnąć do 70/30.
Na przykład, jeśli inwestor wycenia szyb naftowy,. nie jest on pewien, jaka jest wartość tego szybu naftowego, ale istnieje szansa 50/50, że cena wzrośnie. Jeśli ceny ropy wzrosną w okresie 1, co spowoduje, że szyb naftowy stanie się bardziej wartościowy, a fundamenty rynku wskazują teraz na ciągły wzrost cen ropy, prawdopodobieństwo dalszej aprecjacji ceny może teraz wynosić 70 procent. Model dwumianowy pozwala na tę elastyczność; model Blacka-Scholesa nie.
Prawdziwy przykład dwumianowego modelu wyceny opcji
Uproszczony przykład drzewa dwumianowego ma tylko jeden krok. Załóżmy, że istnieje akcja, której cena wynosi 100 USD za akcję. W ciągu miesiąca cena tych akcji wzrośnie o 10 USD lub spadnie o 10 USD, tworząc taką sytuację:
Cena magazynowa = $100
Cena magazynowa w ciągu jednego miesiąca (stan w górę) = 110 USD
Cena akcji w ciągu jednego miesiąca (stan w dół) = 90 USD
Następnie załóżmy, że dla tych akcji dostępna jest opcja kupna, która wygasa za miesiąc i ma cenę wykonania 100 USD. W stanie up ta opcja call jest warta 10 USD, a w stanie down jest warta 0 USD. Model dwumianowy może obliczyć, jaka powinna być cena opcji kupna dzisiaj.
Dla uproszczenia załóżmy, że inwestor kupuje połowę akcji i wystawia lub sprzedaje jedną opcję kupna. Całkowita inwestycja dzisiaj to cena pół akcji pomniejszona o cenę opcji, a możliwe wypłaty na koniec miesiąca to:
Koszt dzisiaj = 50 USD - cena opcji
Wartość portfela (stan górny) = 55 USD - maks. (110 USD - 100 USD, 0) = 45 USD
Wartość portfela (stan nieaktywny) = 45 USD - maks. (90 USD - 100 USD, 0) = 45 USD
Spłata portfela jest równa bez względu na to, jak porusza się cena akcji. Biorąc pod uwagę ten wynik, zakładając brak możliwości arbitrażu, inwestor powinien w ciągu miesiąca uzyskać stopę wolną od ryzyka. Dzisiejszy koszt musi być równy spłacie zdyskontowanej według stopy wolnej od ryzyka przez jeden miesiąc. Równanie do rozwiązania to:
- Cena opcji = 50 USD - 45 USD xe ^ (-stawka wolna od ryzyka x T), gdzie e jest stałą matematyczną 2,7183.
Zakładając, że stopa wolna od ryzyka wynosi 3% rocznie, a T wynosi 0,0833 (jedno podzielone przez 12), wówczas cena opcji kupna dzisiaj wynosi 5,11 USD.
Dwumianowy model wyceny opcji ma dwie zalety dla sprzedających opcje w porównaniu z modelem Blacka-Scholesa. Pierwszym jest jego prostota, która pozwala na mniej błędów w aplikacji komercyjnej. Drugim jest działanie iteracyjne, które w odpowiednim czasie dostosowuje ceny, aby zmniejszyć możliwość realizacji strategii arbitrażowych przez kupujących.
Na przykład, ponieważ zapewnia strumień wycen instrumentu pochodnego dla każdego węzła w określonym przedziale czasu, jest przydatny do wyceny instrumentów pochodnych, takich jak opcje amerykańskie, które można wykonać w dowolnym momencie między datą zakupu a datą wygaśnięcia. Jest również znacznie prostszy niż inne modele wyceny, takie jak model Blacka-Scholesa.
##Przegląd najważniejszych wydarzeń
Model jest intuicyjny i stosowany w praktyce częściej niż znany model Blacka-Scholesa.
W modelu istnieją dwa możliwe wyniki w każdej iteracji — ruch w górę lub ruch w dół, które następują po drzewie dwumianowym.
Dwumianowy model wyceny opcji wycenia opcje przy użyciu podejścia iteracyjnego wykorzystującego wiele okresów do wyceny opcji amerykańskich.
