Линейная связь

Бизнес Корпоративные финансы и бухгалтерский учет Финансовый анализ

Что такое линейная связь?

Линейная связь (или линейная ассоциация) — это статистический термин, используемый для описания прямолинейной зависимости между двумя переменными. Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, где переменная и константа связаны прямой линией, либо в математическом формате, где независимая переменная умножается на коэффициент наклона, к которому добавляется константа, определяющая зависимую переменную.

Линейной зависимости можно противопоставить полиномиальную или нелинейную (криволинейную) связь.

Линейное уравнение:

Математически линейная зависимость — это зависимость, удовлетворяющая уравнению:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf{где:}\ &m=\text{наклон }\ &b=\text\ \end$

В этом уравнении «x» и «y» — это две переменные, которые связаны параметрами «m» и «b». Графически y = mx + b отображается на плоскости xy как линия с наклоном «m» и точкой пересечения с y «b». Точка пересечения y «b» — это просто значение «y», когда x=0. Наклон «m» рассчитывается для любых двух отдельных точек (x₁, y₁) и (x₂, y₂) следующим образом:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <кодирование аннотаций ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Что говорит вам линейная зависимость?

Есть три набора необходимых критериев, которым должно соответствовать уравнение, чтобы считаться линейным: уравнение, выражающее линейную зависимость, не может состоять более чем из двух переменных, все переменные в уравнении должны быть в первой степени. , и уравнение должно быть представлено прямой линией.

Обычно используемая линейная зависимость — это корреляция,. которая описывает, насколько близко к линейной форме изменяется одна переменная по отношению к изменениям другой переменной.

В эконометрике линейная регрессия — это часто используемый метод построения линейных зависимостей для объяснения различных явлений. Он обычно используется для экстраполяции событий из прошлого, чтобы делать прогнозы на будущее. Однако не все отношения линейны. Некоторые данные описывают криволинейные отношения (например, полиномиальные отношения), в то время как другие данные не могут быть параметризованы.

Линейные функции

Математически похожей на линейную зависимость является концепция линейной функции. От одной переменной линейную функцию можно записать следующим образом:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf{где:}\ &m=\text{наклон}\ &b=\text\ \end</ аннотация></семантика>$

Это идентично данной формуле для линейной зависимости, за исключением того, что символ f(x) используется вместо y. Эта замена сделана, чтобы подчеркнуть значение, что x отображается в f(x), тогда как использование y просто указывает на то, что x и y — две величины, связанные отношениями A и B.

При изучении линейной алгебры свойства линейных функций широко изучаются и становятся строгими. Учитывая скаляр C и два вектора A и B из R^N, наиболее общее определение линейной функции гласит: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Примеры линейных отношений

Пример 1

Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни. Возьмем, к примеру, понятие скорости. Формула, которую мы используем для расчета скорости, выглядит следующим образом: показатель скорости – это расстояние, пройденное за время. Если кто-то в белом минивэне Chrysler Town and Country 2007 года выпуска едет между Сакраменто и Мэрисвиллем в Калифорнии, отрезок в 41,3 мили по шоссе 99, и вся поездка занимает 40 минут, она будет двигаться со скоростью чуть ниже 60 миль в час .

Хотя в этом уравнении более двух переменных, оно по-прежнему является линейным уравнением, поскольку одна из переменных всегда будет константой (расстоянием).

Пример 2

Линейную зависимость также можно найти в уравнении расстояние = скорость x время. Поскольку расстояние является положительным числом (в большинстве случаев), эта линейная зависимость будет выражена в правом верхнем квадранте графика с осями X и Y.

Если велосипед, сделанный для двоих, ехал со скоростью 30 миль в час в течение 20 часов, то велосипедист в итоге проедет 600 миль. Представленная графически с расстоянием по оси Y и временем по оси X, линия, отслеживающая расстояние за эти 20 часов, будет проходить прямо от точки схождения осей X и Y.

Пример 3

Чтобы преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта или Фаренгейты в градусы Цельсия, вы должны использовать приведенные ниже уравнения. Эти уравнения выражают линейную зависимость на графике:

$\степень C = \frac{5}{9}(\степень F - 32)$

$\степень F = \frac{9}{5}\градус C + 32$

Пример 4

Предположим, что независимой переменной является размер дома (измеренный в квадратных футах), который определяет рыночную цену дома (зависимая переменная), когда она умножается на коэффициент наклона 207,65, а затем добавляется к постоянному члену 10 500 долларов США. . Если площадь дома составляет 1250 квадратных метров, то рыночная стоимость дома равна (1250 x 207,65) + 10 500 долларов США = 270 062,50 долларов США. Графически и математически это выглядит следующим образом:

В этом примере по мере увеличения размера дома рыночная стоимость дома увеличивается линейно.

Некоторые линейные отношения между двумя объектами можно назвать «пропорциональными отношениями». Это отношение проявляется как

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf{где:}\ &k=\text{константа}\ &Y, X=\text{пропорциональные количества}\ \end{выровнено}$

При анализе поведенческих данных редко бывает идеальная линейная зависимость между переменными. Однако линии тренда можно найти в данных, которые формируют грубую версию линейной зависимости. Например, вы можете рассматривать ежедневные продажи мороженого и ежедневную высокую температуру как две переменные, действующие на графике, и найти грубую линейную зависимость между ними.

Особенности

Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, либо в виде математического уравнения вида y = mx + b.
Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни.
Линейная связь (или линейная ассоциация) — это статистический термин, используемый для описания прямолинейной зависимости между двумя переменными.