एकाधिक रैखिक प्रतिगमन (एमएलआर)

मल्टीपल लीनियर रिग्रेशन (MLR) क्या है?

मल्टीपल लीनियर रिग्रेशन (एमएलआर), जिसे मल्टीपल रिग्रेशन के रूप में भी जाना जाता है, एक सांख्यिकीय तकनीक है जो प्रतिक्रिया चर के परिणाम की भविष्यवाणी करने के लिए कई व्याख्यात्मक चर का उपयोग करती है। बहु रेखीय प्रतिगमन का लक्ष्य व्याख्यात्मक (स्वतंत्र) चर और प्रतिक्रिया (आश्रित) चर के बीच रैखिक संबंध को मॉडल करना है। संक्षेप में, एकाधिक प्रतिगमन साधारण न्यूनतम-वर्ग (OLS) प्रतिगमन का विस्तार है क्योंकि इसमें एक से अधिक व्याख्यात्मक चर शामिल हैं।

एकाधिक रैखिक प्रतिगमन का सूत्र और गणना

$\begin{aligned} y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i 1} + β_{2} x_{i < mn>2} + । । < mi mathvariant="normal">. + β_{p} x_{i p} + ϵ \\ कहाँ, के लिए i = n अवलोकन: \\ </ mrow> & y_{i} = आश्रित चर \\ </ mrow> x_{i} = व्याख्यात्मक चर \\ β_{0} = < mtext>y-अवरोधन (c ऑनस्टैंट टर्म) \\ < /mstyle> & β_{p</ mi>} = प्रत्येक व्याख्यात्मक चर के लिए ढाल गुणांक \\ < mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"> & < /mrow> ϵ = मॉडल का त्रुटि शब्द (अवशिष्ट के रूप में भी जाना जाता है) & < /mtr> \end{aligned} <एनोटेशन एन्कोडिंग="एप्लिकेशन/एक्स-टेक्स">\शुरू करें{गठबंधन}&y_i = \beta_0 + \beta$ < /span>

क्या एकाधिक रैखिक प्रतिगमन आपको बता सकता है

सरल रेखीय प्रतिगमन एक ऐसा कार्य है जो एक विश्लेषक या सांख्यिकीविद् को किसी अन्य चर के बारे में ज्ञात जानकारी के आधार पर एक चर के बारे में भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। रैखिक प्रतिगमन का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब किसी के पास दो निरंतर चर हों - एक स्वतंत्र चर और एक आश्रित चर। स्वतंत्र चर वह पैरामीटर है जिसका उपयोग आश्रित चर या परिणाम की गणना के लिए किया जाता है। एक बहु प्रतिगमन मॉडल कई व्याख्यात्मक चर तक फैला हुआ है।

बहु प्रतिगमन मॉडल निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:

आश्रित चर और स्वतंत्र चर के बीच एक रैखिक संबंध होता है

एक दूसरे के साथ बहुत अधिक सहसंबद्ध नहीं हैं

y_i प्रेक्षणों का चयन स्वतंत्र रूप से और यादृच्छिक रूप से जनसंख्या से किया जाता है
अवशिष्टों को सामान्य रूप से 0 और विचरण के माध्य के साथ वितरित किया जाना चाहिए σ

निर्धारण का गुणांक ( R- वर्ग) एक सांख्यिकीय मीट्रिक है जिसका उपयोग यह मापने के लिए किया जाता है कि स्वतंत्र चर में भिन्नता द्वारा परिणाम में कितनी भिन्नता को समझाया जा सकता है। R² हमेशा बढ़ता है क्योंकि MLR मॉडल में अधिक भविष्यवक्ता जोड़े जाते हैं, भले ही भविष्यवक्ता परिणाम चर से संबंधित न हों।

इस प्रकार R² का उपयोग यह पहचानने के लिए नहीं किया जा सकता है कि कौन से भविष्यवक्ताओं को एक मॉडल में शामिल किया जाना चाहिए और जिसे बाहर रखा जाना चाहिए। R² केवल 0 और 1 के बीच हो सकता है, जहां 0 इंगित करता है कि किसी भी स्वतंत्र चर द्वारा परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है और 1 इंगित करता है कि परिणाम की भविष्यवाणी स्वतंत्र चर से त्रुटि के बिना की जा सकती है।

एकाधिक प्रतिगमन के परिणामों की व्याख्या करते समय, बीटा गुणांक अन्य सभी चर स्थिर ("बाकी सभी बराबर") रखते हुए मान्य होते हैं। एकाधिक प्रतिगमन से आउटपुट क्षैतिज रूप से एक समीकरण के रूप में, या लंबवत रूप से तालिका रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

एकाधिक रैखिक प्रतिगमन का उपयोग कैसे करें का उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, एक विश्लेषक यह जानना चाह सकता है कि बाजार की गति एक्सॉनमोबिल (एक्सओएम) की कीमत को कैसे प्रभावित करती है। इस मामले में, उनके रैखिक समीकरण में स्वतंत्र चर, या भविष्यवक्ता के रूप में एस एंड पी 500 इंडेक्स का मूल्य और आश्रित चर के रूप में एक्सओएम की कीमत होगी।

वास्तव में, कई कारक किसी घटना के परिणाम की भविष्यवाणी करते हैं। उदाहरण के लिए, एक्सॉनमोबिल की कीमतों में उतार-चढ़ाव समग्र बाजार के प्रदर्शन से कहीं अधिक पर निर्भर करता है। अन्य भविष्यवाणियां जैसे कि तेल की कीमत, ब्याज दरें, और भविष्य के तेल की कीमत में उतार-चढ़ाव, एक्सओएम की कीमत और अन्य तेल कंपनियों के स्टॉक की कीमतों को प्रभावित कर सकते हैं । एक संबंध को समझने के लिए जिसमें दो से अधिक चर मौजूद हैं, बहु रेखीय प्रतिगमन का उपयोग किया जाता है।

कई यादृच्छिक चर के बीच गणितीय संबंध निर्धारित करने के लिए एकाधिक रैखिक प्रतिगमन (एमएलआर) का उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एमएलआर यह जांचता है कि एक आश्रित चर से कितने स्वतंत्र चर संबंधित हैं। एक बार जब प्रत्येक स्वतंत्र कारक आश्रित चर की भविष्यवाणी करने के लिए निर्धारित हो जाता है, तो परिणाम चर पर उनके प्रभाव के स्तर पर सटीक भविष्यवाणी करने के लिए कई चर की जानकारी का उपयोग किया जा सकता है। मॉडल एक सीधी रेखा (रैखिक) के रूप में एक संबंध बनाता है जो सभी व्यक्तिगत डेटा बिंदुओं का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।

उपरोक्त एमएलआर समीकरण का जिक्र करते हुए, हमारे उदाहरण में:

y_i = आश्रित चर—XOM . की कीमत
x_i1 = ब्याज दरें
x_i2 = तेल की कीमत
x_i3 = S&P 500 इंडेक्स का मान
x_i4= तेल वायदा की कीमत
B₀ = y-अवरोधन समय शून्य
बी ~ 1 ~ = प्रतिगमन गुणांक जो निर्भर चर में एक इकाई परिवर्तन को मापता है जब x ~ i1 ~ बदलता है - ब्याज दरों में परिवर्तन होने पर एक्सओएम मूल्य में परिवर्तन
B₂ = गुणांक मान जो x_i2 में परिवर्तन होने पर आश्रित चर में एक इकाई परिवर्तन को मापता है—तेल की कीमतों में परिवर्तन होने पर XOM मूल्य में परिवर्तन

कम से कम वर्ग अनुमान- बी ~ 0 ~, बी ~ 1 ~, बी ~ 2 ~ ... बी ~ पी ~ - आमतौर पर सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर द्वारा गणना की जाती है। प्रतिगमन मॉडल में जितने चर शामिल किए जा सकते हैं, जिसमें प्रत्येक स्वतंत्र चर को एक संख्या के साथ विभेदित किया जाता है—1,2, 3, 4...पी। एकाधिक प्रतिगमन मॉडल एक विश्लेषक को कई व्याख्यात्मक चर पर प्रदान की गई जानकारी के आधार पर एक परिणाम की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।

फिर भी, मॉडल हमेशा पूरी तरह से सटीक नहीं होता है क्योंकि प्रत्येक डेटा बिंदु मॉडल द्वारा अनुमानित परिणाम से थोड़ा भिन्न हो सकता है। अवशिष्ट मूल्य, ई, जो वास्तविक परिणाम और अनुमानित परिणाम के बीच का अंतर है, को इस तरह के मामूली बदलावों के लिए मॉडल में शामिल किया गया है।

यह मानते हुए कि हम अपने एक्सओएम मूल्य प्रतिगमन मॉडल को एक सांख्यिकी गणना सॉफ्टवेयर के माध्यम से चलाते हैं, जो इस आउटपुट को लौटाता है:

एक विश्लेषक इस आउटपुट की व्याख्या इस अर्थ में करेगा कि यदि अन्य चर स्थिर रखे जाते हैं, तो XOM की कीमत में 7.8% की वृद्धि होगी यदि बाजारों में तेल की कीमत 1% बढ़ जाती है। मॉडल यह भी दर्शाता है कि ब्याज दरों में 1% की वृद्धि के बाद XOM की कीमत में 1.5% की कमी आएगी। R² इंगित करता है कि एक्सॉन मोबिल के स्टॉक मूल्य में 86.5% भिन्नता को ब्याज दर, तेल की कीमत, तेल वायदा और एसएंडपी 500 इंडेक्स में बदलाव द्वारा समझाया जा सकता है।

रैखिक और एकाधिक प्रतिगमन के बीच का अंतर

साधारण रेखीय वर्ग (OLS) प्रतिगमन कुछ व्याख्यात्मक चर में परिवर्तन दिए गए आश्रित चर की प्रतिक्रिया की तुलना करता है। हालांकि, एक आश्रित चर को शायद ही कभी केवल एक चर द्वारा समझाया जाता है। इस मामले में, एक विश्लेषक कई प्रतिगमन का उपयोग करता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर का उपयोग करके एक आश्रित चर की व्याख्या करने का प्रयास करता है। एकाधिक प्रतिगमन रैखिक और अरेखीय हो सकते हैं।

एकाधिक प्रतिगमन इस धारणा पर आधारित हैं कि आश्रित और स्वतंत्र चर दोनों के बीच एक रैखिक संबंध है। यह भी स्वतंत्र चर के बीच कोई बड़ा संबंध नहीं मानता है।

##हाइलाइट

एकाधिक प्रतिगमन रैखिक (OLS) प्रतिगमन का एक विस्तार है जो सिर्फ एक व्याख्यात्मक चर का उपयोग करता है।
मल्टीपल लीनियर रिग्रेशन (एमएलआर), जिसे मल्टीपल रिग्रेशन के रूप में भी जाना जाता है, एक सांख्यिकीय तकनीक है जो प्रतिक्रिया चर के परिणाम की भविष्यवाणी करने के लिए कई व्याख्यात्मक चर का उपयोग करती है।
अर्थमिति और वित्तीय अनुमान में एमएलआर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

##सामान्य प्रश्न

एक से अधिक प्रतिगमन के रैखिक होने का क्या अर्थ है?

सबसे अच्छी फिट की रेखा की गणना करता है जो आश्रित चर से संबंधित प्रत्येक चर के भिन्नता को कम करता है। क्योंकि यह एक रेखा में फिट बैठता है, यह एक रैखिक मॉडल है। गैर-रेखीय प्रतिगमन मॉडल भी हैं जिनमें कई चर शामिल हैं, जैसे लॉजिस्टिक रिग्रेशन, द्विघात प्रतिगमन और प्रोबिट मॉडल।

वित्त में एकाधिक प्रतिगमन मॉडल का उपयोग कैसे किया जाता है?

कोई भी अर्थमितीय मॉडल जो एक से अधिक चर को देखता है, वह बहु हो सकता है। कारक मॉडल चर और परिणामी प्रदर्शन के बीच संबंधों का विश्लेषण करने के लिए दो या दो से अधिक कारकों की तुलना करते हैं। फामा और फ्रेंच थ्री-फैक्टर मॉड एक ऐसा मॉडल है जो सीएपीएम (जो स्वयं एक प्रतिगमन मॉडल है) में बाजार जोखिम कारक में आकार जोखिम और मूल्य जोखिम कारकों को जोड़कर पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल (सीएपीएम) पर विस्तार करता है । इन दो अतिरिक्त कारकों को शामिल करके, मॉडल इस बेहतर प्रदर्शन की प्रवृत्ति के लिए समायोजित करता है, जिसे प्रबंधक के प्रदर्शन के मूल्यांकन के लिए एक बेहतर उपकरण बनाने के लिए माना जाता है।

क्या मैं हाथ से एकाधिक प्रतिगमन कर सकता हूं?

यह संभावना नहीं है क्योंकि कई प्रतिगमन मॉडल जटिल हैं और तब और भी अधिक हो जाते हैं जब मॉडल में अधिक चर शामिल होते हैं या जब विश्लेषण के लिए डेटा की मात्रा बढ़ती है। एकाधिक प्रतिगमन चलाने के लिए आपको एक्सेल जैसे कार्यक्रमों के भीतर विशेष सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर या फ़ंक्शंस का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

क्या एक से अधिक प्रतिगमन को एकाधिक बनाता है?

एक बहु प्रतिगमन ब्याज के कुछ परिणामों पर एक से अधिक व्याख्यात्मक चर के प्रभाव पर विचार करता है। यह मॉडल स्थिरांक में अन्य सभी चरों को धारण करते समय आश्रित चर पर इन व्याख्यात्मक, या स्वतंत्र, चर के सापेक्ष प्रभाव का मूल्यांकन करता है।

एक साधारण OLS प्रतिगमन पर एक से अधिक प्रतिगमन का उपयोग क्यों करेगा?

एक आश्रित चर को केवल एक चर द्वारा शायद ही कभी समझाया जाता है। ऐसे मामलों में, एक विश्लेषक कई प्रतिगमन का उपयोग करता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर का उपयोग करके एक आश्रित चर की व्याख्या करने का प्रयास करता है। हालांकि, मॉडल मानता है कि स्वतंत्र चर के बीच कोई बड़ा संबंध नहीं है।