Multiple Linear Regression (MLR)

Mikä on moninkertainen lineaarinen regressio (MLR)?

Multiple lineaarinen regressio (MLR), joka tunnetaan myös yksinkertaisesti useana regressiona, on tilastollinen tekniikka, joka käyttää useita selittäviä muuttujia ennustamaan vastemuuttujan lopputulosta. Moninkertaisen lineaarisen regression tavoitteena on mallintaa lineaarista suhdetta selittävien (riippumattomien) muuttujien ja vastemuuttujien (riippuvaisten) välillä. Pohjimmiltaan moninkertainen regressio on tavallisen pienimmän neliösumman (OLS) regression laajennus, koska se sisältää useamman kuin yhden selittävän muuttujan.

Usean lineaarisen regression kaava ja laskenta

$\begin&y_i = \beta_0 + \beta$1 x + \beta 2 x + ... + \beta p x + \epsilon\&\textbf{jos, } i = n \textbf\&y_i=\text\&x_i=\ teksti{selittävät muuttujat}\&\beta_0=\teksti{y-leikkaus (vakiotermi)}\&\beta_p=\teksti{kaltevuuskertoimet jokaiselle selittävälle muuttujalle le}\&\epsilon=\text{mallin virhetermi (tunnetaan myös nimellä residuaalit)}\end< span class="katex-html" aria-hidden="true">< /span> < span class="pstrut" style="height:2.84em;">​ yi<​</ span ></ span >=β0</ span> +β1< / span>< span> xi1 < /span>+β2<​< span class="vlist-r">< / span>x< span class="pstrut" style="height:2.7em;">i2<​< /span >< /span >< span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+...+β< span class="mord mathnormal mtight">p<​</ span>xip< /span>< / span>+ϵ< / span>mihin, <span class="mord" mathnormal">i=n havainnot : y< /span> i​ =< /span>riippuvainen muuttuja< span class="mord mathnormal">xi = < span class="mord">selittävät muuttujatβ0</sp an>= y-intercept (vakiotermi)β< span class="vlist" style="height:0.15139200000000003em;">p< span class="vlist" style="height:0.286108em;">=</ span >kulmakertoimet kullekin selittävälle muuttujalleϵ=mallin virhetermi (tunnetaan myös nimellä residuaalit)</ span >< /span>

Mitä monilineaarinen regressio voi kertoa sinulle

Yksinkertainen lineaarinen regressio on funktio, jonka avulla analyytikko tai tilastotieteilijä voi tehdä ennusteita yhdestä muuttujasta toisesta muuttujasta tunnettujen tietojen perusteella. Lineaarista regressiota voidaan käyttää vain, kun yhdellä on kaksi jatkuvaa muuttujaa – riippumaton muuttuja ja riippuvainen muuttuja. Riippumaton muuttuja on parametri, jota käytetään riippuvan muuttujan tai tuloksen laskemiseen. Moniregressiomalli ulottuu useisiin selittäviin muuttujiin.

Moniregressiomalli perustuu seuraaviin oletuksiin:

• Riippuvien muuttujien ja riippumattomien muuttujien välillä on lineaarinen suhde

• Riippumattomat muuttujat eivät korreloi liian voimakkaasti keskenään

• y_i havainnot valitaan itsenäisesti ja satunnaisesti populaatiosta

• Residuaalien tulee olla normaalijakaumassa keskiarvolla 0 ja varianssilla σ

Määrityskerroin ( R-neliö) on tilastollinen metriikka,. jota käytetään mittaamaan, kuinka suuri osa tuloksen vaihtelusta voidaan selittää riippumattomien muuttujien vaihtelulla. R² kasvaa aina, kun enemmän ennustajia lisätään MLR-malliin, vaikka ennustajat eivät ehkä liitykään tulosmuuttujaan.

R²:a ei siis sinänsä voida käyttää tunnistamaan, mitkä ennustajat tulisi sisällyttää malliin ja mitkä jättää pois. R² voi olla vain välillä 0 ja 1, missä 0 osoittaa, että lopputulosta ei voida ennustaa millään riippumattomista muuttujista ja 1 osoittaa, että lopputulos voidaan ennustaa ilman virhettä riippumattomien muuttujien perusteella.

Kun tulkitaan moninkertaisen regression tuloksia, beeta-kertoimet ovat voimassa, kun kaikki muut muuttujat pysyvät vakioina ("kaikki muut samanarvoisia"). Moninkertaisen regression tulos voidaan näyttää vaakasuunnassa yhtälönä tai pystysuunnassa taulukkomuodossa.

Esimerkki usean lineaarisen regression käyttämisestä

Analyytikko voi esimerkiksi haluta tietää, kuinka markkinoiden liike vaikuttaa ExxonMobilin (XOM) hintaan. Tässä tapauksessa niiden lineaarisessa yhtälössä riippumattomana muuttujana eli ennustajana on S&P 500 -indeksin arvo ja riippuvaisena muuttujana XOM:n hinta.

Todellisuudessa tapahtuman lopputuloksen ennustavat useat tekijät. Esimerkiksi ExxonMobilin hintakehitys riippuu muustakin kuin vain kokonaismarkkinoiden kehityksestä. Muut ennustajat, kuten öljyn hinta, korot ja tulevaisuuden öljyn hintaliikkeet, voivat vaikuttaa XOM:n hintaan ja muiden öljy-yhtiöiden osakehintoihin . Useampaa lineaarista regressiota käytetään ymmärtämään suhdetta, jossa on enemmän kuin kaksi muuttujaa.

Multiple lineaarista regressiota (MLR) käytetään useiden satunnaismuuttujien välisen matemaattisen suhteen määrittämiseen. Toisin sanoen MLR tutkii kuinka useat riippumattomat muuttujat liittyvät yhteen riippuvaiseen muuttujaan. Kun jokainen riippumaton tekijä on määritetty ennustamaan riippuvainen muuttuja, useiden muuttujien tietoja voidaan käyttää luomaan tarkka ennuste niiden vaikutuksen tasosta tulosmuuttujaan. Malli luo suoran (lineaarisen) muodossa olevan suhteen, joka parhaiten approksimoi kaikkia yksittäisiä datapisteitä.

Viitaten yllä olevaan MLR-yhtälöön esimerkissämme:

• y_i = riippuva muuttuja - XOM:n hinta

• x_i1 = korot

• x_i2 = öljyn hinta

• x_i3 = S&P 500 -indeksin arvo

• x_i4= öljyfutuurien hinta

• B₀ = y-leikkausaika nolla

• B₁ = regressiokerroin, joka mittaa riippuvan muuttujan yksikkömuutosta, kun x_i1 muuttuu - XOM-hinnan muutos korkojen muuttuessa

• B₂ = kertoimen arvo, joka mittaa riippuvan muuttujan yksikkömuutosta, kun x_i2 muuttuu - XOM-hinnan muutos öljyn hinnan muuttuessa

Pienimmän neliösumman arviot - B₀, B₁, B₂...B_p - lasketaan yleensä tilastoohjelmistolla. Niin monta muuttujaa voidaan sisällyttää regressiomalliin, jossa jokainen riippumaton muuttuja erotetaan numerolla—1,2, 3, 4...p. Usean regressiomallin avulla analyytikko voi ennustaa tuloksen useista selittävistä muuttujista saatujen tietojen perusteella.

Malli ei kuitenkaan aina ole täysin tarkka, koska jokainen datapiste voi poiketa hieman mallin ennustamasta tuloksesta. Jäännösarvo E, joka on todellisen tuloksen ja ennustetun lopputuloksen välinen ero, on sisällytetty malliin tällaisten pienten vaihtelujen huomioon ottamiseksi.

Olettaen, että käytämme XOM-hintaregressiomalliamme tilastolaskentaohjelmiston kautta, joka palauttaa tämän tuloksen:

Analyytikko tulkitsee tämän tuoton tarkoittavan, että jos muut muuttujat pidetään muuttumattomina, XOM:n hinta nousee 7,8 %, jos öljyn hinta markkinoilla nousee 1 %. Malli osoittaa myös, että XOM:n hinta laskee 1,5 % yhden prosentin korkojen nousun jälkeen. R² osoittaa, että 86,5 % Exxon Mobilin osakekurssin vaihteluista voidaan selittää koron, öljyn hinnan, öljyfutuurien ja S&P 500 -indeksin muutoksilla.

Ero lineaarisen ja moninkertaisen regression välillä

Tavallisen lineaarisen neliön (OLS) regressio vertaa riippuvaisen muuttujan vastetta joidenkin selittävien muuttujien muuttuessa. Riippuvaa muuttujaa selitetään kuitenkin harvoin vain yhdellä muuttujalla. Tässä tapauksessa analyytikko käyttää moninkertaista regressiota, joka yrittää selittää riippuvaisen muuttujan käyttämällä useampaa kuin yhtä riippumatonta muuttujaa. Useat regressiot voivat olla lineaarisia ja epälineaarisia.

Useat regressiot perustuvat olettamukseen, että sekä riippuvien että riippumattomien muuttujien välillä on lineaarinen suhde. Se ei myöskään oleta merkittävää korrelaatiota riippumattomien muuttujien välillä.

##Kohokohdat

• Multiple regressio on lineaarisen (OLS) regression laajennus, joka käyttää vain yhtä selittävää muuttujaa.

• Multiple lineaarinen regressio (MLR), joka tunnetaan myös yksinkertaisesti moniregressioina, on tilastollinen tekniikka, joka käyttää useita selittäviä muuttujia ennustamaan vastemuuttujan lopputulosta.

• MLR:ää käytetään laajasti ekonometriassa ja taloudellisissa päätelmissä.

##UKK

Mitä tarkoittaa, että moninkertainen regressio on lineaarinen?

Moninkertaisessa lineaarisessa regressiossa malli laskee parhaan sovitusviivan,. joka minimoi kunkin sisällytetyn muuttujan varianssit suhteessa riippuvaan muuttujaan. Koska se sopii linjaan, se on lineaarinen malli. On myös epälineaarisia regressiomalleja, joissa on useita muuttujia, kuten logistinen regressio, neliöllinen regressio ja probit-mallit.

Miten useita regressiomalleja käytetään rahoituksessa?

Mikä tahansa ekonometrinen malli, joka tarkastelee useampaa kuin yhtä muuttujaa, voi olla monikerta. Tekijämallit vertaavat kahta tai useampaa tekijää analysoidakseen muuttujien välisiä suhteita ja tuloksena olevaa suorituskykyä. Fama ja ranskalainen Three-Factor Mod on sellainen malli, joka laajentaa pääomavarojen hinnoittelumallia (CAPM) lisäämällä kokoriski- ja arvoriskitekijät CAPM:n markkinariskitekijään (joka on itsessään regressiomalli). Sisällyttämällä nämä kaksi lisätekijää malli mukautuu tähän parempiin tuloksiin, minkä uskotaan tekevän siitä paremman työkalun esimiesten suoritusten arviointiin.

Voinko tehdä moninkertaisen regression käsin?

Se on epätodennäköistä, koska useat regressiomallit ovat monimutkaisia ja muuttuvat vieläkin monimutkaisemmiksi, kun malliin sisältyy enemmän muuttujia tai kun analysoitavan tiedon määrä kasvaa. Usean regression suorittamiseksi joudut todennäköisesti käyttämään erikoistuneita tilastollisia ohjelmistoja tai toimintoja ohjelmissa, kuten Excel.

Mikä tekee moninkertaisesta regressiosta moninkertaisen?

Moninkertainen regressio ottaa huomioon useamman kuin yhden selittävän muuttujan vaikutuksen johonkin kiinnostavaan tulokseen. Se arvioi näiden selittävien tai riippumattomien muuttujien suhteellisen vaikutuksen riippuvaan muuttujaan, kun kaikki muut mallin muuttujat pidetään vakioina.

Miksi käyttää moninkertaista regressiota yksinkertaisen OLS-regression sijaan?

Riippuva muuttuja selittyy harvoin vain yhdellä muuttujalla. Tällaisissa tapauksissa analyytikko käyttää moninkertaista regressiota, joka yrittää selittää riippuvaisen muuttujan käyttämällä useampaa kuin yhtä riippumatonta muuttujaa. Malli kuitenkin olettaa, että riippumattomien muuttujien välillä ei ole suuria korrelaatioita.