الانحدار الخطي المتعدد (MLR)

ما هو الانحدار الخطي المتعدد (MLR)؟

الانحدار الخطي المتعدد (MLR) ، المعروف أيضًا باسم الانحدار المتعدد ، هو أسلوب إحصائي يستخدم العديد من المتغيرات التوضيحية للتنبؤ بنتيجة متغير الاستجابة. الهدف من الانحدار الخطي المتعدد هو نمذجة العلاقة الخطية بين المتغيرات التوضيحية (المستقلة) ومتغيرات الاستجابة (التابعة). في جوهرها ، الانحدار المتعدد هو امتداد لانحدار المربعات الصغرى العادي (OLS) لأنه يتضمن أكثر من متغير توضيحي واحد.

صيغة وحساب الانحدار الخطي المتعدد

1 x + \ beta 2 x + ... + \ beta p x + \ epsilon \ & amp؛ \ textbf {حيث ، لـ} i = n \ textbf {الملاحظات:} \ & amp؛ y_i = \ text {المتغير التابع} \ & amp؛ x_i = \ نص {متغيرات توضيحية} \ & amp؛ \ beta_0 = \ text {y-intercept (ثابت مصطلح)} \ & amp؛ \ beta_p = \ text {معاملات الانحدار لكل متغير توضيحي le} \ & amp؛ \ epsilon = \ text {مصطلح خطأ النموذج (المعروف أيضًا باسم القيم المتبقية)} \ end < span class = "katex-html" aria-hidden = "true"> < / span> <span class =" vlist "style =" height: 5.500000000000001em؛ "> <span class =" pstrut "style =" height: 2.84em؛ " > < span class = "pstrut" style = "height: 2.84em؛"> y <span class =" pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> i </ span > </ span > = β <span class =" pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> 0 </ span> + β 1 < / span> < span> x <span فئة = "msupsub"> <span class =" pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> i 1 <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.22222222222222em؛ "> + β <span class =" vlist "style =" height: 0.30110799999999993em؛ "> <span class =" pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> 2 </ span> x <span class =" vlist "style =" height: 0.31166399999999994em؛ "> i 2 </ span > </ span > < span class = "mspace" style = "margin-right: 0.2222222222222222em؛"> + . . . + <span class =" mord mathnormal "style =" margin-right: 0.05278em؛ "> β <span class =" pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> < span class = "mord mathnormal mtight"> p <span class =" vlist "style =" height: 0.286108em؛ "> </ span> x <span class =" vlist "style =" height: 0.311664em؛ "> <span class =" pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> i p < / span> <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.22222222222222em؛ "> < / span> + ϵ < / span> حيث ، لـ </ span> i <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> = <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> n ملاحظات : y < / span> i <span class = "mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> = <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> < / span> متغير تابع </ span> < span class = "mord mathnormal"> x <span class = "vlist "style =" height: 0.31166399999999994em؛ "> <span class =" pstrut "style =" height: 2.7 em؛ "> i </ span > <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ " > = المتغيرات التوضيحية </ span> <span class =" mord mathnormal "style =" margin- right: 0.05278em؛ "> β 0 </ sp an> <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> = <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> تقاطع y (مصطلح ثابت) </ span> <span class = " pstrut "style =" height: 3em؛ "> <span class =" mord mathnormal "style =" margin-right: 0.05278em؛ "> β < span class = "vlist" style = "height: 0.15139200000000003em؛"> <span class = "pstrut "style =" height: 2.7em؛ "> p < span class = "vlist" style = "height: 0.286108em؛"> = </ span> معاملات ميل لكل متغير توضيحي </ span> <span class =" pstrut "style =" height: 3em؛ "> ϵ <span class =" mspace "style =" margin-right: 0.2777777777777778em؛ "> = مصطلح خطأ النموذج (المعروف أيضًا باسم القيم المتبقية) </ span> </ span> <span class =" vlist "style =" height: 5.000000000000002em؛ "> </ span> < / span>

ما يمكن أن يخبرك به الانحدار الخطي المتعدد

الانحدار الخطي البسيط هو وظيفة تسمح للمحلل أو الإحصائي بعمل تنبؤات حول متغير واحد بناءً على المعلومات المعروفة عن متغير آخر. يمكن استخدام الانحدار الخطي فقط عندما يكون لدى المرء متغيرين مستمرين - متغير مستقل ومتغير تابع. المتغير المستقل هو المعلمة المستخدمة لحساب المتغير التابع أو النتيجة. يمتد نموذج الانحدار المتعدد إلى عدة متغيرات توضيحية.

يعتمد نموذج الانحدار المتعدد على الافتراضات التالية:

• توجد علاقة خطية بين المتغيرات التابعة والمتغيرات المستقلة

• لا ترتبط المتغيرات المستقلة ارتباطًا وثيقًا ببعضها البعض

• y ~ i ~ يتم اختيار الملاحظات بشكل مستقل وعشوائي من السكان

• يجب توزيع المخلفات بشكل طبيعي بمتوسط 0 والتباين ** σ **

معامل التحديد ( R-squared) هو مقياس إحصائي يُستخدم لقياس مقدار التباين في النتيجة الذي يمكن تفسيره من خلال التباين في المتغيرات المستقلة. يزيد R ^ 2 ^ دائمًا مع إضافة المزيد من المتنبئين إلى نموذج MLR ، على الرغم من أن المتنبئين قد لا يكونون مرتبطين بمتغير النتيجة.

وبالتالي لا يمكن استخدام R ^ 2 ^ في حد ذاته لتحديد المتنبئين الذي يجب تضمينه في النموذج وأيها يجب استبعاده. يمكن أن يكون R ^ 2 ^ فقط بين 0 و 1 ، حيث يشير 0 إلى أنه لا يمكن التنبؤ بالنتيجة بواسطة أي من المتغيرات المستقلة ويشير 1 إلى أنه يمكن التنبؤ بالنتيجة بدون أخطاء من المتغيرات المستقلة.

عند تفسير نتائج الانحدار المتعدد ، تكون معاملات بيتا صالحة مع الاحتفاظ بجميع المتغيرات الأخرى ثابتة ("كل شيء آخر متساوٍ"). يمكن عرض الناتج من الانحدار المتعدد أفقيًا كمعادلة ، أو رأسيًا في شكل جدول.

مثال على كيفية استخدام الانحدار الخطي المتعدد

على سبيل المثال ، قد يرغب المحلل في معرفة كيفية تأثير حركة السوق على سعر ExxonMobil (XOM). في هذه الحالة ، سيكون لمعادلتهم الخطية قيمة مؤشر S&P 500 كمتغير مستقل ، أو متنبئ ، وسعر XOM كمتغير تابع.

في الواقع ، تتنبأ عوامل متعددة بنتيجة الحدث. تعتمد حركة أسعار ExxonMobil ، على سبيل المثال ، على أكثر من مجرد أداء السوق ككل. يمكن للتنبؤات الأخرى مثل سعر النفط وأسعار الفائدة وحركة أسعار العقود الآجلة للنفط أن تؤثر على سعر XOM وأسعار أسهم شركات النفط الأخرى. لفهم العلاقة التي يوجد فيها أكثر من متغيرين ، يتم استخدام الانحدار الخطي المتعدد.

يستخدم الانحدار الخطي المتعدد (MLR) لتحديد العلاقة الرياضية بين العديد من المتغيرات العشوائية. بعبارات أخرى ، يفحص MLR كيفية ارتباط المتغيرات المستقلة المتعددة بمتغير تابع واحد. بمجرد تحديد كل من العوامل المستقلة للتنبؤ بالمتغير التابع ، يمكن استخدام المعلومات المتعلقة بالمتغيرات المتعددة لإنشاء تنبؤ دقيق على مستوى تأثيرها على متغير النتيجة. ينشئ النموذج علاقة في شكل خط مستقيم (خطي) يقارب بشكل أفضل جميع نقاط البيانات الفردية.

بالإشارة إلى معادلة MLR أعلاه ، في مثالنا:

• y ~ i ~ = متغير تابع - سعر XOM

• x ~ i1 ~ = أسعار الفائدة

• x ~ i2 ~ = سعر النفط

• x ~ i3 ~ = قيمة مؤشر S&P 500

• x ~ i4 ~ = سعر العقود الآجلة للنفط

• B ~ 0 ~ = تقاطع y في الوقت صفر

• B ~ 1 ~ = معامل الانحدار الذي يقيس تغير الوحدة في المتغير التابع عندما تتغير x ~ i1 ~ - التغير في سعر XOM عندما تتغير أسعار الفائدة

• B ~ 2 ~ = قيمة المعامل التي تقيس تغير الوحدة في المتغير التابع عندما تتغير x ~ i2 ~ - التغير في سعر XOM عندما تتغير أسعار النفط

عادةً ما يتم حساب تقديرات المربعات الصغرى —B ~ 0 ~ ، B ~ 1 ~ ، B ~ 2 ~… B ~ p ~ بواسطة برنامج إحصائي. حيث يمكن تضمين العديد من المتغيرات في نموذج الانحدار حيث يتم تمييز كل متغير مستقل برقم —1،2 ، 3 ، 4 ... ص. يسمح نموذج الانحدار المتعدد للمحلل بالتنبؤ بنتيجة بناءً على المعلومات المقدمة على متغيرات توضيحية متعددة.

ومع ذلك ، لا يكون النموذج دائمًا دقيقًا تمامًا حيث يمكن أن تختلف كل نقطة بيانات قليلاً عن النتيجة التي تنبأ بها النموذج. يتم تضمين القيمة المتبقية ، E ، وهي الفرق بين النتيجة الفعلية والنتيجة المتوقعة ، في النموذج لحساب هذه الاختلافات الطفيفة.

بافتراض أننا قمنا بتشغيل نموذج انحدار الأسعار XOM الخاص بنا من خلال برنامج حساب إحصائي ، يقوم بإرجاع هذا الناتج:

<! - 193B494081C84A1BDB50F6709905B87F ->

قد يفسر المحلل هذا الناتج على أنه إذا كانت المتغيرات الأخرى ثابتة ، فإن سعر XOM سيرتفع بنسبة 7.8٪ إذا زاد سعر النفط في الأسواق بنسبة 1٪. يوضح النموذج أيضًا أن سعر XOM سينخفض بنسبة 1.5٪ بعد ارتفاع أسعار الفائدة بنسبة 1٪. يشير R ^ 2 ^ إلى أن 86.5٪ من التغيرات في سعر سهم Exxon Mobil يمكن تفسيرها بالتغيرات في سعر الفائدة وأسعار النفط والعقود الآجلة للنفط ومؤشر S&P 500.

الفرق بين الانحدار الخطي والمتعدد

المربعات الخطية العادية (OLS) استجابة متغير تابع بالنظر إلى حدوث تغيير في بعض المتغيرات التفسيرية. ومع ذلك ، نادرًا ما يتم تفسير المتغير التابع بمتغير واحد فقط. في هذه الحالة ، يستخدم المحلل الانحدار المتعدد ، والذي يحاول شرح متغير تابع باستخدام أكثر من متغير مستقل. يمكن أن تكون الانحدارات المتعددة خطية وغير خطية.

تستند الانحدارات المتعددة على افتراض وجود علاقة خطية بين كل من المتغيرات التابعة والمستقلة. كما أنه يفترض عدم وجود ارتباط كبير بين المتغيرات المستقلة.

يسلط الضوء

• الانحدار المتعدد هو امتداد للانحدار الخطي (OLS) يستخدم متغيرًا توضيحيًا واحدًا فقط.

• الانحدار الخطي المتعدد (MLR) ، المعروف أيضًا باسم الانحدار المتعدد ، هو أسلوب إحصائي يستخدم العديد من المتغيرات التوضيحية للتنبؤ بنتيجة متغير الاستجابة.

• يستخدم MLR على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي والاستدلال المالي.

التعليمات

ماذا يعني أن يكون الانحدار المتعدد خطيًا؟

في الانحدار الخطي المتعدد ، يحسب النموذج الخط الأفضل ملاءمة الذي يقلل من تباينات كل من المتغيرات المضمنة من حيث صلتها بالمتغير التابع. لأنه يناسب خطًا ، فهو نموذج خطي. هناك أيضًا نماذج انحدار غير خطي تتضمن متغيرات متعددة ، مثل الانحدار اللوجستي والانحدار التربيعي ونماذج الاحتمالية.

كيف تُستخدم نماذج الانحدار المتعددة في التمويل؟

قد يكون أي نموذج اقتصادي قياسي يبحث في أكثر من متغير واحدًا متعددًا. تقارن نماذج العوامل بين عاملين أو أكثر لتحليل العلاقات بين المتغيرات والأداء الناتج. يعد Fama and French Three-Factor Mod نموذجًا يتوسع في نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) عن طريق إضافة عوامل مخاطر الحجم والقيمة إلى عامل مخاطر السوق في CAPM (والذي يعد في حد ذاته نموذجًا للانحدار). من خلال تضمين هذين العاملين الإضافيين ، يتكيف النموذج مع هذا الاتجاه المتفوق ، والذي يُعتقد أنه يجعله أداة أفضل لتقييم أداء المدير.

هل يمكنني القيام بعملية الانحدار المتعدد يدويًا؟

من غير المحتمل أن تكون نماذج الانحدار المتعددة معقدة وتصبح أكثر تعقيدًا عندما يكون هناك المزيد من المتغيرات المضمنة في النموذج أو عندما يزداد حجم البيانات المطلوب تحليلها. لتشغيل الانحدار المتعدد ، ستحتاج على الأرجح إلى استخدام برامج أو وظائف إحصائية متخصصة ضمن برامج مثل Excel.

ما الذي يجعل الانحدار المتعدد متعددًا؟

يأخذ الانحدار المتعدد في الاعتبار تأثير أكثر من متغير توضيحي على بعض نتائج الفائدة. يقوم بتقييم التأثير النسبي لهذه المتغيرات التفسيرية ، أو المستقلة ، على المتغير التابع عند الاحتفاظ بجميع المتغيرات الأخرى في النموذج ثابتة.

لماذا قد يستخدم المرء الانحدار المتعدد على انحدار OLS البسيط؟

نادرًا ما يتم تفسير المتغير التابع بمتغير واحد فقط. في مثل هذه الحالات ، يستخدم المحلل الانحدار المتعدد ، والذي يحاول شرح متغير تابع باستخدام أكثر من متغير مستقل. ومع ذلك ، يفترض النموذج أنه لا توجد ارتباطات رئيسية بين المتغيرات المستقلة.