다중 선형 회귀(MLR)

다중 선형 회귀(MLR)란 무엇입니까?

간단히 다중 회귀라고도 하는 다중 선형 회귀(MLR)는 여러 설명 변수를 사용하여 응답 변수의 결과를 예측하는 통계 기법입니다. 다중 선형 회귀의 목표는 설명(독립) 변수와 응답(종속) 변수 간의 선형 관계 를 모델링하는 것입니다. 본질적으로 다중 회귀는 하나 이상의 설명 변수를 포함하기 때문에 일반 최소 자승(OLS) 회귀 의 확장입니다.

다중 선형 회귀의 공식 및 계산

$\begin{정렬}&y_i = \beta_0 + \beta$ xi2<< /스팬 >+...+β<스팬 클래스 ="vlist-t vlist-t2">p<</ 스팬>xip+ϵ</ 스팬>여기서, 나는=n 관찰 : y i =종속 변수xi = 설명 변수β0= y 절편(상수)β< 스팬 class="vlist" style="height:0.15139200000000003em;">p< 스팬 class="vlist" style="height:0.286108em;">=각 설명 변수에 대한 기울기 계수ϵ=모델의 오차항(잔차라고도 함)

다중 선형 회귀가 알려줄 수 있는 것

단순 선형 회귀는 분석가나 통계학자가 다른 변수에 대해 알려진 정보를 기반으로 한 변수에 대해 예측할 수 있도록 하는 기능입니다. 선형 회귀는 독립 변수와 종속 변수라는 두 개의 연속 변수가 있는 경우에만 사용할 수 있습니다. 독립 변수는 종속 변수 또는 결과를 계산하는 데 사용되는 매개변수입니다. 다중 회귀 모델은 여러 설명 변수로 확장됩니다.

다중 회귀 모델은 다음 가정을 기반으로 합니다.

종속변수와 독립변수 사이에는 선형 관계 가 있습니다.

서로 상관관계 가 너무 높지 않음

y_i 관측치는 모집단에서 독립적으로 무작위로 선택됩니다.

평균이 0이고 분산 이 σ 인 정규 분포 여야 합니다.

결정 계수 ( R- 제곱)는 결과 의 변동이 독립 변수의 변동으로 설명될 수 있는 정도를 측정하는 데 사용되는 통계적 메트릭입니다. 예측 변수가 결과 변수와 관련이 없을 수도 있지만 MLR 모델에 더 많은 예측 변수가 추가될수록 R²는 항상 증가합니다.

따라서 R² 자체는 모델에 포함되어야 하는 예측 변수와 제외해야 하는 예측 변수를 식별하는 데 사용할 수 없습니다. R²는 0과 1 사이에만 있을 수 있습니다. 여기서 0은 어떤 독립 변수로도 결과를 예측할 수 없음을 나타내고 1은 독립 변수에서 오류 없이 결과를 예측할 수 있음을 나타냅니다.

다중 회귀의 결과를 해석할 때 베타 계수는 다른 모든 변수를 일정하게 유지하면서 유효합니다("다른 모든 변수는 동일함"). 다중 회귀의 출력은 방정식으로 가로로 표시하거나 테이블 형식으로 세로로 표시할 수 있습니다.

다중 선형 회귀를 사용하는 방법의 예

예를 들어, 분석가는 시장의 움직임이 ExxonMobil(XOM)의 가격에 어떤 영향을 미치는지 알고 싶어할 수 있습니다. 이 경우 선형 방정식은 독립 변수 또는 예측 변수로 S&P 500 지수 값을, 종속 변수로 XOM 가격을 갖습니다.

실제로 여러 요인이 이벤트의 결과를 예측합니다. 예를 들어, ExxonMobil의 가격 움직임은 전체 시장의 성과 그 이상에 달려 있습니다. 유가, 이자율, 미래 유가 변동과 같은 기타 예측 변수 는 XOM의 가격과 다른 석유 회사의 주가에 영향을 미칠 수 있습니다 . 두 개 이상의 변수가 존재하는 관계를 이해하기 위해 다중 선형 회귀가 사용됩니다.

다중 선형 회귀(MLR)는 여러 확률 변수 간의 수학적 관계를 결정하는 데 사용됩니다. 즉, MLR은 여러 독립 변수가 하나의 종속 변수와 어떻게 관련되어 있는지 조사합니다. 각 독립 요인이 종속 변수를 예측하기 위해 결정되면 다중 변수에 대한 정보를 사용하여 결과 변수에 미치는 영향 수준에 대한 정확한 예측을 생성할 수 있습니다. 이 모델은 모든 개별 데이터 요소에 가장 근접한 직선(선형) 형태의 관계를 생성합니다.

위의 MLR 방정식을 참조하면 이 예에서:

y_i = 종속변수 - XOM의 가격
x_i1 = 이자율
x_i2 = 유가
x_i3 = S&P 500 지수 값
x_i4= 석유 선물 가격
B₀ = 시간 0에서의 y절편
B₁ = x_i1이 변할 때 종속변수의 단위 변화를 측정하는 회귀 계수 - 금리가 변할 때 XOM 가격의 변화
B₂ = x_i2가 변할 때 종속변수의 단위 변화를 측정하는 계수 값 - 유가가 변할 때 XOM 가격의 변화

최소제곱 추정치(B₀, B₁, B₂…B_p)는 일반적으로 통계 소프트웨어에 의해 계산됩니다. 각 독립 변수가 숫자(1,2, 3, 4...p)로 미분되는 회귀 모델에 많은 변수가 포함될 수 있습니다. 다중 회귀 모델을 사용하면 분석가가 여러 설명 변수에 제공된 정보를 기반으로 결과를 예측할 수 있습니다.

그러나 각 데이터 포인트가 모델에서 예측한 결과와 약간 다를 수 있으므로 모델이 항상 완벽하게 정확하지는 않습니다. 실제 결과와 예측된 결과의 차이인 잔차 값 E는 이러한 약간의 변동을 설명하기 위해 모델에 포함됩니다.

통계 계산 소프트웨어를 통해 XOM 가격 회귀 모델을 실행한다고 가정하면 다음 출력이 반환됩니다.

분석가는 이 결과를 다른 변수가 일정하게 유지되면 시장의 석유 가격이 1% 상승하면 XOM의 가격이 7.8% 상승한다는 의미로 해석합니다. 이 모델은 또한 이자율이 1% 상승한 후 XOM의 가격이 1.5% 하락할 것임을 보여줍니다. R²는 Exxon Mobil 주가 변동의 86.5%가 금리, 유가, 석유 선물 및 S&P 500 지수의 변동으로 설명될 수 있음을 나타냅니다.

선형 회귀와 다중 회귀의 차이점

일반 선형 제곱 (OLS) 회귀는 일부 설명 변수의 변경이 주어진 종속 변수의 응답을 비교합니다. 그러나 종속변수는 하나의 변수로만 설명되는 경우는 거의 없습니다. 이 경우 분석가는 둘 이상의 독립 변수를 사용하여 종속 변수를 설명하려고 시도하는 다중 회귀를 사용합니다. 다중 회귀는 선형 및 비선형일 수 있습니다.

다중 회귀는 종속 변수와 독립 변수 사이에 선형 관계가 있다는 가정을 기반으로 합니다. 또한 독립 변수 사이에 큰 상관 관계가 없다고 가정합니다.

##하이라이트

다중 회귀는 하나의 설명 변수만 사용하는 선형(OLS) 회귀의 확장입니다.
단순히 다중 회귀라고도 하는 다중 선형 회귀(MLR)는 여러 설명 변수를 사용하여 응답 변수의 결과를 예측하는 통계 기법입니다.
MLR은 계량 경제학 및 금융 추론에 광범위하게 사용됩니다.

##자주하는 질문

다중 회귀가 선형이라는 것은 무엇을 의미합니까?

다중 선형 회귀에서 모델 은 종속 변수와 관련하여 포함된 각 변수의 분산을 최소화하는 최적선을 계산합니다. 선에 맞기 때문에 선형 모델입니다. 로지스틱 회귀, 2차 회귀 및 프로빗 모델과 같은 다중 변수를 포함하는 비선형 회귀 모델도 있습니다.

다중 회귀 모델은 금융에서 어떻게 사용됩니까?

둘 이상의 변수를 보는 모든 계량 경제학 모델은 배수가 될 수 있습니다. 요인 모형 은 두 개 이상의 요인을 비교하여 변수와 결과 성능 간의 관계를 분석합니다. Fama and French Three-Factor Mod 는 CAPM(회귀 모델)의 시장 위험 요소에 크기 위험 및 가치 위험 요소를 추가 하여 자본 자산 가격 책정 모델 (CAPM) 을 확장하는 모델입니다 . 이 두 가지 추가 요소를 포함함으로써 모델은 이러한 성과가 좋은 경향을 조정하므로 관리자 성과를 평가하는 데 더 나은 도구가 될 것으로 생각됩니다.

다중 회귀를 수동으로 수행할 수 있습니까?

다중 회귀 모델은 복잡하고 모델에 더 많은 변수가 포함되거나 분석할 데이터의 양이 증가하면 더 복잡해지기 때문에 그럴 가능성은 거의 없습니다. 다중 회귀를 실행하려면 Excel과 같은 프로그램 내에서 특수 통계 소프트웨어 또는 기능을 사용해야 할 수 있습니다.

다중 회귀를 다중으로 만드는 것은 무엇입니까?

다중 회귀는 일부 관심 결과에 대한 둘 이상의 설명 변수의 효과를 고려합니다. 모델 상수의 다른 모든 변수를 유지할 때 종속 변수에 대한 이러한 설명 또는 독립 변수의 상대적 효과를 평가합니다.

단순 OLS 회귀보다 다중 회귀를 사용하는 이유는 무엇입니까?

종속변수는 하나의 변수만으로 설명되는 경우가 거의 없습니다. 이러한 경우 분석가는 둘 이상의 독립 변수를 사용하여 종속 변수를 설명하려고 시도하는 다중 회귀를 사용합니다. 그러나 이 모델은 독립 변수 간에 주요 상관 관계가 없다고 가정합니다.