Multipel linjär regression (MLR)

Vad är multipel linjär regression (MLR)?

Multipel linjär regression (MLR), även känd helt enkelt som multipel regression, är en statistisk teknik som använder flera förklarande variabler för att förutsäga resultatet av en svarsvariabel. Målet med multipel linjär regression är att modellera det linjära sambandet mellan de förklarande (oberoende) variablerna och responsvariablerna (beroende). I huvudsak är multipel regression en förlängning av vanlig minsta kvadraters (OLS) regression eftersom den involverar mer än en förklarande variabel.

Formel och beräkning av multipel linjär regression

$\begin&y_i = \beta_0 + \beta$

Vad multipel linjär regression kan berätta för dig

Enkel linjär regression är en funktion som gör att en analytiker eller statistiker kan göra förutsägelser om en variabel baserat på den information som är känd om en annan variabel. Linjär regression kan endast användas när man har två kontinuerliga variabler - en oberoende variabel och en beroende variabel. Den oberoende variabeln är den parameter som används för att beräkna den beroende variabeln eller utfallet. En multipel regressionsmodell sträcker sig till flera förklaringsvariabler.

Multipel regressionsmodellen är baserad på följande antaganden:

– Det finns ett linjärt samband mellan de beroende variablerna och de oberoende variablerna

– De oberoende variablerna är inte för högt korrelerade med varandra

y_i observationer väljs oberoende och slumpmässigt från populationen
Rester ska vara normalfördelade med medelvärdet 0 och varians σ

Bestämningskoefficienten ( R -kvadrat) är ett statistiskt mått som används för att mäta hur mycket av variationen i utfall som kan förklaras av variationen i de oberoende variablerna. R² ökar alltid när fler prediktorer läggs till i MLR-modellen, även om prediktorerna kanske inte är relaterade till utfallsvariabeln.

R² i sig kan alltså inte användas för att identifiera vilka prediktorer som bör inkluderas i en modell och vilka som bör exkluderas. R² kan bara vara mellan 0 och 1, där 0 indikerar att utfallet inte kan förutsägas av någon av de oberoende variablerna och 1 indikerar att utfallet kan förutsägas utan fel från de oberoende variablerna.

När man tolkar resultaten av multipel regression är beta-koefficienter giltiga medan alla andra variabler hålls konstanta ("allt annat lika"). Utdata från en multipel regression kan visas horisontellt som en ekvation eller vertikalt i tabellform.

Exempel på hur man använder multipel linjär regression

Som ett exempel kan en analytiker vilja veta hur marknadens rörelser påverkar priset på ExxonMobil (XOM). I det här fallet kommer deras linjära ekvation att ha värdet av S&P 500-indexet som den oberoende variabeln, eller prediktorn, och priset på XOM som den beroende variabeln.

I verkligheten förutsäger flera faktorer resultatet av en händelse. Prisrörelsen för ExxonMobil beror till exempel på mer än bara prestanda på den totala marknaden. Andra prediktorer som oljepriset, räntor och prisrörelsen på oljeterminer kan påverka priset på XOM och andra oljebolags aktiekurser. För att förstå ett samband där fler än två variabler finns, används multipel linjär regression.

Multipel linjär regression (MLR) används för att bestämma ett matematiskt samband mellan flera slumpvariabler. Med andra ord undersöker MLR hur flera oberoende variabler är relaterade till en beroende variabel. När var och en av de oberoende faktorerna har bestämts för att förutsäga den beroende variabeln, kan informationen om de multipla variablerna användas för att skapa en korrekt förutsägelse om nivån av effekt de har på utfallsvariabeln. Modellen skapar ett samband i form av en rät linje (linjär) som bäst approximerar alla individuella datapunkter.

Med hänvisning till MLR-ekvationen ovan, i vårt exempel:

y_i = beroende variabel—priset på XOM
x_i1 = räntor
x_i2 = oljepris
x_i3 = värde på S&P 500-index
x_i4= pris på oljeterminer
B₀ = y-skärning vid tidpunkt noll
B₁ = regressionskoefficient som mäter en enhetsförändring i den beroende variabeln när x_i1 ändras - förändringen i XOM-priset när räntorna ändras
B₂ = koefficientvärde som mäter en enhetsförändring i den beroende variabeln när x_i2 ändras - förändringen i XOM-priset när oljepriset ändras

Uppskattningarna av minsta kvadrater - B₀, B₁, B₂...B_p - beräknas vanligtvis av statistisk programvara. Lika många variabler kan inkluderas i regressionsmodellen där varje oberoende variabel är differentierad med ett tal—1,2, 3, 4...s. Multipelregressionsmodellen tillåter en analytiker att förutsäga ett resultat baserat på information som tillhandahålls om flera förklarande variabler.

Ändå är modellen inte alltid helt korrekt eftersom varje datapunkt kan skilja sig något från det resultat som modellen förutspått. Restvärdet, E, som är skillnaden mellan det faktiska utfallet och det förutsagda utfallet, ingår i modellen för att ta hänsyn till sådana små variationer.

Om vi antar att vi kör vår XOM-prisregressionsmodell genom en programvara för statistikberäkning, som returnerar denna utdata:

En analytiker skulle tolka denna produktion som att om andra variabler hålls konstanta, kommer priset på XOM att öka med 7,8 % om oljepriset på marknaderna ökar med 1 %. Modellen visar också att priset på XOM kommer att sjunka med 1,5 % efter en ränteuppgång på 1 %. R² indikerar att 86,5 % av variationerna i aktiekursen för Exxon Mobil kan förklaras av förändringar i räntan, oljepriset, oljeterminer och S&P 500-index.

Skillnaden mellan linjär och multipel regression

vanliga linjära kvadrater (OLS) jämför svaret från en beroende variabel givet en förändring i vissa förklarande variabler. En beroende variabel förklaras dock sällan av endast en variabel. I det här fallet använder en analytiker multipel regression, som försöker förklara en beroende variabel med mer än en oberoende variabel. Flera regressioner kan vara linjära och olinjära.

Flera regressioner bygger på antagandet att det finns ett linjärt samband mellan både de beroende och oberoende variablerna. Det antar inte heller någon större korrelation mellan de oberoende variablerna.

Höjdpunkter

Multipel regression är en förlängning av linjär (OLS) regression som använder bara en förklarande variabel.
Multipel linjär regression (MLR), även känd helt enkelt som multipel regression, är en statistisk teknik som använder flera förklarande variabler för att förutsäga resultatet av en svarsvariabel.
MLR används flitigt inom ekonometri och finansiell slutledning.

Vanliga frågor

Vad betyder det att en multipel regression är linjär?

Vid multipel linjär regression beräknar modellen linjen med bästa passform som minimerar varianserna för var och en av de inkluderade variablerna när den relaterar till den beroende variabeln. Eftersom det passar en linje är det en linjär modell. Det finns också icke-linjära regressionsmodeller som involverar flera variabler, såsom logistisk regression, kvadratisk regression och probitmodeller.

Hur används multipla regressionsmodeller i finans?

Varje ekonometrisk modell som tittar på mer än en variabel kan vara en multipel. Faktormodeller jämför två eller flera faktorer för att analysera sambanden mellan variabler och den resulterande prestandan. Fama and French Three-Factor Mod är en sådan modell som expanderar på kapitaltillgångsprissättningsmodellen (CAPM) genom att lägga till storleksrisk och värderiskfaktorer till marknadsriskfaktorn i CAPM (som i sig är en regressionsmodell). Genom att inkludera dessa två ytterligare faktorer, justerar modellen för denna överpresterande tendens, vilket anses göra den till ett bättre verktyg för att utvärdera chefsprestationer.

Kan jag göra en multipel regression för hand?

Det är osannolikt eftersom flera regressionsmodeller är komplexa och blir ännu mer så när det finns fler variabler som ingår i modellen eller när mängden data att analysera växer. För att köra en multipel regression kommer du sannolikt att behöva använda specialiserad statistisk programvara eller funktioner i program som Excel.

Vad gör en multipel regression till multipel?

En multipel regression tar hänsyn till effekten av mer än en förklarande variabel på ett visst resultat av intresse. Den utvärderar den relativa effekten av dessa förklarande, eller oberoende, variabler på den beroende variabeln när alla andra variabler i modellen hålls konstanta.

Varför skulle man använda en multipel regression framför en enkel OLS-regression?

En beroende variabel förklaras sällan av endast en variabel. I sådana fall använder en analytiker multipel regression, som försöker förklara en beroende variabel med mer än en oberoende variabel. Modellen antar dock att det inte finns några större korrelationer mellan de oberoende variablerna.