रैखिक संबंध

एक रैखिक संबंध क्या है?

एक रैखिक संबंध (या रैखिक संघ) एक सांख्यिकीय शब्द है जिसका उपयोग दो चर के बीच एक सीधी रेखा संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। रैखिक संबंधों को या तो एक ग्राफिकल प्रारूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां चर और स्थिरांक एक सीधी रेखा के माध्यम से जुड़े होते हैं या गणितीय प्रारूप में जहां स्वतंत्र चर को ढलान गुणांक से गुणा किया जाता है, एक स्थिर द्वारा जोड़ा जाता है, जो निर्भर चर को निर्धारित करता है।

एक रैखिक संबंध बहुपद या गैर-रैखिक (घुमावदार) संबंध के साथ विपरीत हो सकता है।

रैखिक समीकरण है:

गणितीय रूप से, एक रैखिक संबंध वह है जो समीकरण को संतुष्ट करता है:

$\begin{aligned} y = m x + b \\ कहां: \\ < /mrow> & m =< /mo>ढलान \\ < /mrow> & b = y-इंटरसेप्ट & </ mtr> \end{aligned} <एनोटेशन एन्कोडिंग = "एप्लिकेशन/एक्स-टेक्स"> \ start {गठबंधन} और amp; y = एमएक्स + बी \ & amp; \ टेक्स्टबीएफ {कहां:} \ और एम = \ टेक्स्ट {ढलान }\ &b=\text\ \end$

इस समीकरण में, "x" और "y" दो चर हैं जो पैरामीटर "m" और "b" से संबंधित हैं। आलेखीय रूप से, y = mx + b xy समतल में ढलान "m" और y-अवरोधन "b" वाली रेखा के रूप में प्लॉट करता है। y-अवरोधन "बी" केवल "y" का मान है जब x = 0। ढलान "एम" की गणना किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से की जाती है:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <एनोटेशन एन्कोडिंग ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

एक रैखिक संबंध आपको क्या बताता है?

एक रैखिक के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए आवश्यक मानदंडों के तीन सेट हैं: एक रैखिक संबंध व्यक्त करने वाले समीकरण में दो से अधिक चर शामिल नहीं हो सकते हैं, समीकरण में सभी चर पहली शक्ति के लिए होने चाहिए , और समीकरण को एक सीधी रेखा के रूप में ग्राफ़ करना चाहिए।

आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला रैखिक संबंध एक सहसंबंध है,. जो बताता है कि रैखिक फैशन के करीब एक चर दूसरे चर में परिवर्तन से संबंधित कैसे बदलता है।

अर्थमिति में , रैखिक प्रतिगमन विभिन्न घटनाओं की व्याख्या करने के लिए रैखिक संबंध उत्पन्न करने का एक अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका है। यह आमतौर पर भविष्य के लिए पूर्वानुमान बनाने के लिए अतीत की घटनाओं को एक्सट्रपलेशन करने में उपयोग किया जाता है। हालाँकि, सभी रिश्ते रैखिक नहीं होते हैं। कुछ डेटा उन रिश्तों का वर्णन करते हैं जो घुमावदार हैं (जैसे बहुपद संबंध) जबकि अभी भी अन्य डेटा को पैरामीटर नहीं किया जा सकता है।

रैखिक कार्य

एक रैखिक संबंध के समान गणितीय रूप से एक रैखिक कार्य की अवधारणा है। एक चर में, एक रैखिक फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\begin{aligned} f (x</मो) mi>)=mx+b \\ कहाँ: < /mstyle> \\ m = ढलान < /mstyle> \\ b = y-इंटरसेप्ट \end{aligned} <एनोटेशन एन्कोडिंग="एप्लिकेशन/x-tex">\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\text{ढलान}\ &b=\text\ \end</ एनोटेशन></शब्दार्थ>$

यह एक रैखिक संबंध के लिए दिए गए सूत्र के समान है सिवाय इसके कि प्रतीक f(x) का उपयोग y. के स्थान पर किया जाता है। y का उपयोग केवल यह दर्शाता है कि x और y दो मात्राएँ हैं, जो A और B से संबंधित हैं।

रैखिक बीजगणित के अध्ययन में, रैखिक कार्यों के गुणों का व्यापक अध्ययन किया जाता है और उन्हें कठोर बनाया जाता है। R^N से एक अदिश C और दो सदिश A और B को देखते हुए, एक रेखीय फलन की सबसे सामान्य परिभाषा कहती है कि: $<annotationencode="application/x-tex">c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$ < span class="mord mathnormal">c×< अवधि वर्ग = "एमस्पेस" शैली = "मार्जिन-दाएं: 0.22222222222222222em;"> <span वर्ग = "आधार"> <span वर्ग = "स्ट्रट" शैली = "ऊंचाई: 1em; लंबवत- align:-0.25em;">f(B)

रैखिक संबंधों के उदाहरण

उदाहरण 1

दैनिक जीवन में रैखिक संबंध बहुत आम हैं। आइए उदाहरण के लिए गति की अवधारणा को लें। गति की गणना के लिए हम जिस सूत्र का उपयोग करते हैं वह इस प्रकार है: गति की दर समय के साथ तय की गई दूरी है। यदि कोई सफेद 2007 क्रिसलर टाउन एंड कंट्री मिनीवैन में कैलिफोर्निया में सैक्रामेंटो और मैरीसविले के बीच यात्रा कर रहा है, जो राजमार्ग 99 पर 41.3 मील की दूरी पर है, और पूरी यात्रा में 40 मिनट लगते हैं, तो वह 60 मील प्रति घंटे से नीचे की यात्रा कर रही होगी ।

जबकि इस समीकरण में दो से अधिक चर हैं, यह अभी भी एक रैखिक समीकरण है क्योंकि एक चर हमेशा एक स्थिर (दूरी) होगा।

उदाहरण 2

समीकरण दूरी = दर x समय में एक रैखिक संबंध भी पाया जा सकता है। क्योंकि दूरी एक सकारात्मक संख्या है (ज्यादातर मामलों में), यह रैखिक संबंध एक्स और वाई-अक्ष वाले ग्राफ के शीर्ष दाएं चतुर्थांश पर व्यक्त किया जाएगा।

यदि दो के लिए बनाई गई साइकिल 30 मील प्रति घंटे की गति से 20 घंटे की यात्रा कर रही थी, तो सवार 600 मील की यात्रा समाप्त कर देगा। वाई-अक्ष पर दूरी और एक्स-अक्ष पर समय के साथ ग्राफिक रूप से प्रतिनिधित्व, उन 20 घंटों में दूरी को ट्रैक करने वाली एक रेखा सीधे एक्स और वाई-अक्ष के अभिसरण से यात्रा करेगी।

उदाहरण 3

सेल्सियस को फ़ारेनहाइट या फ़ारेनहाइट से सेल्सियस में बदलने के लिए, आप नीचे दिए गए समीकरणों का उपयोग करेंगे। ये समीकरण एक ग्राफ पर एक रैखिक संबंध व्यक्त करते हैं:

$° stretchy="false">(° F - 32 <mo स्ट्रेची = "झूठा">) <एनोटेशन एन्कोडिंग="एप्लिकेशन/एक्स-टेक्स">\डिग्री सी = \ फ़्रेक{5}{9}(\डिग्री एफ - 32)</एनोटेशन>$

$° mathvariant="normal">° C + 32 <annotationencode="application/x-tex" >\डिग्री F = \frac{9}{5}\डिग्री C + 32$

उदाहरण 4

मान लें कि स्वतंत्र चर एक घर का आकार है (जैसा कि वर्ग फुटेज द्वारा मापा जाता है) जो एक घर (आश्रित चर) के बाजार मूल्य को निर्धारित करता है जब इसे 207.65 के ढलान गुणांक से गुणा किया जाता है और फिर स्थिर अवधि में जोड़ा जाता है $10,500 . यदि किसी घर का वर्गाकार फ़ुटेज 1,250 है तो घर का बाज़ार मूल्य (1,250 x 207.65) + $10,500 = $270,062.50 है। रेखांकन और गणितीय रूप से, यह इस प्रकार दिखाई देता है:

इस उदाहरण में, जैसे-जैसे घर का आकार बढ़ता है, घर का बाजार मूल्य रैखिक रूप से बढ़ता है।

दो वस्तुओं के बीच कुछ रैखिक संबंधों को "आनुपातिक संबंध" कहा जा सकता है। यह रिश्ता इस तरह दिखता है

$\begin{aligned} Y = k \times X \\ कहाँ:< /mtext> \\ < /mtd> k = constant< /mtext> \\ < /mtd> < mrow> Y <mo विभाजक="true">, X = आनुपातिक मात्राएं</ mtext> \end{aligned} <एनोटेशन एन्कोडिंग = "एप्लिकेशन/x-tex"> \ start और amp; Y = k \times X \ &amp ;\textbf\ &k=\text\ &Y, X=\text{आनुपातिक मात्रा}\ \end </math$

व्यवहार डेटा का विश्लेषण करते समय, चर के बीच शायद ही कभी एक पूर्ण रैखिक संबंध होता है। हालांकि, डेटा में प्रवृत्ति-रेखाएं पाई जा सकती हैं जो एक रैखिक संबंध का एक मोटा संस्करण बनाती हैं। उदाहरण के लिए, आप आइसक्रीम की दैनिक बिक्री और दैनिक उच्च तापमान को ग्राफ़ में चल रहे दो चर के रूप में देख सकते हैं और दोनों के बीच एक अपरिष्कृत रैखिक संबंध ढूंढ सकते हैं।

हाइलाइट्स

रैखिक संबंधों को या तो ग्राफिकल प्रारूप में या y = mx + b के रूप में गणितीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दैनिक जीवन में रैखिक संबंध काफी सामान्य हैं।
एक रैखिक संबंध (या रैखिक संबंध) एक सांख्यिकीय शब्द है जिसका उपयोग दो चर के बीच एक सीधी रेखा संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है।