Empirische Regel
Was ist die empirische Regel?
Die empirische Regel, auch Drei-Sigma- Regel oder 68-95-99,7-Regel genannt, ist eine statistische Regel, die besagt, dass bei einer Normalverteilung fast alle beobachteten Daten innerhalb von drei Standardabweichungen (bezeichnet durch σ) von der liegen Mittelwert oder Durchschnitt (mit µ bezeichnet).
Insbesondere sagt die empirische Regel voraus, dass 68 % der Beobachtungen in die erste Standardabweichung (µ ± σ), 95 % in die ersten beiden Standardabweichungen (µ ± 2σ) und 99,7 % in die ersten drei Standardabweichungen (µ ± 3σ).
Die empirische Regel verstehen
Die empirische Regel wird in der Statistik häufig zur Vorhersage von Endergebnissen verwendet. Nach der Berechnung der Standardabweichung und vor dem Sammeln exakter Daten kann diese Regel als grobe Schätzung des Ergebnisses der bevorstehenden zu sammelnden und zu analysierenden Daten verwendet werden.
Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kann somit als Zwischenheuristik verwendet werden, da das Sammeln der entsprechenden Daten zeitaufwändig oder in einigen Fällen sogar unmöglich sein kann. Solche Überlegungen kommen ins Spiel, wenn ein Unternehmen seine Qualitätskontrollmaßnahmen überprüft oder seine Risikoexponierung bewertet. So geht das häufig verwendete Risikoinstrument Value-at-Risk (VaR) davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit von Risikoereignissen einer Normalverteilung folgt.
Die empirische Regel wird auch als grobe Methode verwendet, um die "Normalität" einer Verteilung zu testen. Wenn zu viele Datenpunkte außerhalb der drei Standardabweichungsgrenzen liegen, deutet dies darauf hin, dass die Verteilung nicht normal ist und möglicherweise verzerrt ist oder einer anderen Verteilung folgt.
Die empirische Regel ist auch als Drei-Sigma-Regel bekannt, da sich „Drei-Sigma“ auf eine statistische Verteilung von Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert einer Normalverteilung ( Glockenkurve ) bezieht, wie in der folgenden Abbildung angegeben.
Beispiele der empirischen Regel
Nehmen wir an, dass eine Population von Tieren in einem Zoo bekanntermaßen normalverteilt ist. Jedes Tier wird durchschnittlich 13,1 Jahre alt (Mittelwert), und die Standardabweichung der Lebensdauer beträgt 1,5 Jahre. Wenn jemand die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass ein Tier länger als 14,6 Jahre lebt, könnte er die empirische Regel verwenden. Da der Mittelwert der Verteilung 13,1 Jahre alt ist, treten die folgenden Altersbereiche für jede Standardabweichung auf:
Eine Standardabweichung (µ ± σ): (13,1 - 1,5) bis (13,1 + 1,5) oder 11,6 bis 14,6
Zwei Standardabweichungen (µ ± 2σ): 13,1 - (2 x 1,5) bis 13,1 + (2 x 1,5) oder 10,1 bis 16,1
Drei Standardabweichungen (µ ± 3σ): 13,1 - (3 x 1,5) bis 13,1 + (3 x 1,5) oder 8,6 bis 17,6
Die Person, die dieses Problem löst, muss die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen, dass das Tier 14,6 Jahre oder länger lebt. Die empirische Regel zeigt, dass 68 % der Verteilung innerhalb einer Standardabweichung liegen, in diesem Fall von 11,6 bis 14,6 Jahren. Somit liegen die restlichen 32 % der Verteilung außerhalb dieses Bereichs. Die eine Hälfte liegt über 14,6 und die andere unter 11,6. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Tier länger als 14,6 lebt, beträgt also 16 % (berechnet als 32 % dividiert durch zwei).
Nehmen wir als weiteres Beispiel an, dass ein Tier im Zoo durchschnittlich 10 Jahre alt wird, mit einer Standardabweichung von 1,4 Jahren. Angenommen, der Tierpfleger versucht herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Tier länger als 7,2 Jahre lebt. Diese Verteilung sieht wie folgt aus:
Eine Standardabweichung (µ ± σ): 8,6 bis 11,4 Jahre
Zwei Standardabweichungen (µ ± 2σ): 7,2 bis 12,8 Jahre
Drei Standardabweichungen ((µ ± 3σ): 5,8 bis 14,2 Jahre
Die empirische Regel besagt, dass 95 % der Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen liegen. Somit liegen 5 % außerhalb von zwei Standardabweichungen; die Hälfte über 12,8 Jahre und die andere Hälfte unter 7,2 Jahre. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, länger als 7,2 Jahre zu leben:
95 % + (5 % / 2) = 97,5 %
Höhepunkte
Die empirische Regel besagt, dass 99,7 % der nach einer Normalverteilung beobachteten Daten innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.
Gemäß dieser Regel liegen 68 % der Daten innerhalb einer Standardabweichung, 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.
Drei-Sigma-Limits, die der empirischen Regel folgen, werden verwendet, um die oberen und unteren Kontrollgrenzen in statistischen Qualitätsregelkarten und in Risikoanalysen wie VaR festzulegen.
FAQ
Wie wird die empirische Regel verwendet?
Die empirische Regel wird angewendet, um wahrscheinliche Ergebnisse in einer Normalverteilung zu antizipieren. Ein Statistiker würde dies beispielsweise verwenden, um den Prozentsatz der Fälle zu schätzen, die in jede Standardabweichung fallen. Bedenken Sie, dass die Standardabweichung 3,1 und der Mittelwert 10 beträgt. In diesem Fall würde die erste Standardabweichung zwischen (10+3,2)= 13,2 und (10-3,2)= 6,8 liegen. Die zweite Abweichung würde zwischen 10 + (2 x 3,2) = 16,4 und 10 - (2 x 3,2) = 3,6 liegen und so weiter.
Was ist die empirische Regel?
In der Statistik besagt die empirische Regel, dass 99,7 % der Daten innerhalb einer Normalverteilung innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert auftreten. Dazu werden 68 % der beobachteten Daten innerhalb der ersten Standardabweichung, 95 % innerhalb der zweiten Standardabweichung und 97,5 % innerhalb der dritten Standardabweichung auftreten. Die empirische Regel sagt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Reihe von Ergebnissen voraus.
Was sind die Vorteile der empirischen Regel?
Die empirische Regel ist vorteilhaft, da sie als Mittel zur Vorhersage von Daten dient. Dies gilt insbesondere für große Datensätze und solche, bei denen Variablen unbekannt sind. Speziell im Finanzbereich gilt die empirische Regel für Aktienkurse, Preisindizes und logarithmische Werte von Devisenkursen, die alle dazu neigen, über eine Glockenkurve oder Normalverteilung zu fallen.
