Bayés' Teorema

¿Qué es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, llamado así por el matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un resultado, basada en un resultado anterior que haya ocurrido en circunstancias similares. El teorema de Bayes proporciona una forma de revisar las predicciones o teorías existentes (probabilidades de actualización) dada la evidencia nueva o adicional.

En finanzas, el teorema de Bayes se puede utilizar para calificar el riesgo de prestar dinero a prestatarios potenciales. El teorema también se llama Regla de Bayes o Ley de Bayes y es la base del campo de la estadística bayesiana.

Comprender el teorema de Bayes

Las aplicaciones del teorema de Bayes están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Por ejemplo, el teorema de Bayes se puede utilizar para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada tenga una enfermedad y la precisión general de la prueba. El teorema de Bayes se basa en la incorporación de distribuciones de probabilidad anteriores para generar probabilidades posteriores.

La probabilidad previa, en la inferencia estadística bayesiana, es la probabilidad de que ocurra un evento antes de que se recolecten nuevos datos. En otras palabras, representa la mejor evaluación racional de la probabilidad de un resultado particular basado en el conocimiento actual antes de realizar un experimento.

La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que ocurra un evento después de tomar en consideración la nueva información. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad previa utilizando el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B.

Consideraciones Especiales

Por lo tanto, el teorema de Bayes da la probabilidad de un evento en función de la nueva información que está, o puede estar, relacionada con ese evento. La fórmula también se puede usar para determinar cómo la probabilidad de que ocurra un evento puede verse afectada por nueva información hipotética, suponiendo que la nueva información resulte ser cierta.

Por ejemplo, considere sacar una sola carta de una baraja completa de 52 cartas.

La probabilidad de que la carta sea un rey es cuatro dividido por 52, lo que equivale a 1/13 o aproximadamente 7,69%. Recuerda que hay cuatro reyes en la baraja. Ahora, supongamos que se revela que la carta seleccionada es una carta con figuras. La probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey, dado que es una carta con figuras, es cuatro dividido por 12, o aproximadamente 33,3 %, ya que hay 12 cartas con figuras en una baraja.

Fórmula para el teorema de Bayes

$<codificación de anotación="aplicación/x-tex">\begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right) )}\ &\textbf\ &P\left(A\right)=\text\ &P\left(B\right)=\text\ &P\left(A|B\right)=\text\ &P\left(B|A\right)=\text\ &P\left(A\bigcap\right))=\text\ \end</ semántica></matemáticas>$

Ejemplos del teorema de Bayes

A continuación se muestran dos ejemplos del teorema de Bayes en los que el primer ejemplo muestra cómo se puede derivar la fórmula en un ejemplo de inversión en acciones utilizando Amazon.com Inc. (AMZN). El segundo ejemplo aplica el teorema de Bayes a las pruebas de fármacos.

Derivación de la fórmula del teorema de Bayes

El teorema de Bayes se sigue simplemente de los axiomas de probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro evento. Por ejemplo, una simple pregunta de probabilidad puede preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de que caiga el precio de las acciones de Amazon.com?" La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá al preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de AMZN caiga ** dado que ** el índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) cayó antes?"

La probabilidad condicional de A dado que B ha sucedido se puede expresar como:

Si A es: "el precio de AMZN cae", entonces P(AMZN) es la probabilidad de que caiga AMZN; y B es: "DJIA ya ha caído", y P(DJIA) es la probabilidad de que DJIA haya caído; entonces la expresión de probabilidad condicional se lee como "la probabilidad de que AMZN caiga dada una caída de DJIA es igual a la probabilidad de que el precio de AMZN disminuya y DJIA disminuya sobre la probabilidad de una disminución en el índice DJIA.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN y DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN y DJIA) es la probabilidad de que ocurran ambos A y B. Esto también es lo mismo que la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B dado que ocurre A, expresada como P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales conduce al teorema de Bayes, que se escribe como:

si, P(AMZN y DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

entonces, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Donde P(AMZN) y P(DJIA) son las probabilidades de que Amazon y el Dow Jones caigan, sin tener en cuenta el uno al otro.

La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia que P(AMZN) y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P(AMZN|DJIA), dada una hipótesis para Amazon dada la evidencia en el Dow.

Ejemplo numérico del teorema de Bayes

Como ejemplo numérico, imagine que hay una prueba de drogas que tiene una precisión del 98 %, lo que significa que el 98 % de las veces muestra un resultado positivo verdadero para alguien que usa la droga, y el 98 % de las veces muestra un resultado negativo verdadero. para los no usuarios de la droga.

A continuación, suponga que el 0,5% de las personas consumen la droga. Si una persona seleccionada al azar da positivo por la droga, se puede hacer el siguiente cálculo para determinar la probabilidad de que la persona sea realmente consumidora de la droga.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76 %

El teorema de Bayes muestra que incluso si una persona dio positivo en este escenario, hay aproximadamente un 80 % de posibilidades de que la persona no tome la droga.

Preguntas frecuentes.

La línea de fondo

En su forma más simple, el teorema de Bayes toma el resultado de una prueba y lo relaciona con la probabilidad condicional de ese resultado de prueba dados otros eventos relacionados. Para falsos positivos de alta probabilidad, el Teorema da una probabilidad más razonada de un resultado particular.

Reflejos

El teorema de Bayes le permite actualizar las probabilidades predichas de un evento al incorporar nueva información.
A menudo se emplea en finanzas para calcular o actualizar la evaluación de riesgos.
El teorema se ha convertido en un elemento útil en la implementación del aprendizaje automático.
El teorema de Bayes lleva el nombre del matemático del siglo XVIII Thomas Bayes.
El teorema estuvo en desuso durante dos siglos debido al alto volumen de capacidad de cálculo requerido para ejecutar sus transacciones.

PREGUNTAS MÁS FRECUENTES

¿Qué es una calculadora del teorema de Bayes?

Una calculadora del teorema de Bayes calcula la probabilidad de un evento A condicional a otro evento B, dadas las probabilidades previas de A y B, y la probabilidad de **B ** condicionado a A. Calcula probabilidades condicionales basadas en probabilidades conocidas.

¿Cuál es la historia del teorema de Bayes?

El teorema se descubrió entre los documentos del ministro presbiteriano y matemático inglés Thomas Bayes y se publicó póstumamente al ser leído en la Royal Society en 1763. Ignorado durante mucho tiempo a favor de los cálculos booleanos, el teorema de Bayes se ha vuelto más popular recientemente debido a una mayor capacidad de cálculo. para realizar sus complejos cálculos. Estos avances han llevado a un aumento en las aplicaciones que utilizan el teorema de Bayes. Ahora se aplica a una amplia variedad de cálculos de probabilidad, incluidos los cálculos financieros, la genética, el uso de drogas y el control de enfermedades.

¿Qué establece el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes establece que la probabilidad condicional de un evento, basada en la ocurrencia de otro evento, es igual a la probabilidad del segundo evento dado el primer evento multiplicado por la probabilidad del primer evento.

¿Cómo se usa el teorema de Bayes en el aprendizaje automático?

El teorema de Bayes proporciona un método útil para pensar en la relación entre un conjunto de datos y una probabilidad. En otras palabras, el teorema dice que la probabilidad de que una hipótesis dada sea verdadera con base en datos observados específicos se puede establecer como encontrar la probabilidad de observar los datos dada la hipótesis multiplicada por la probabilidad de que la hipótesis sea verdadera independientemente de los datos, dividida por la probabilidad de observar los datos independientemente de la hipótesis.

¿Qué se calcula en el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes calcula la probabilidad condicional de un evento, en función de los valores de probabilidades específicas relacionadas conocidas.