بايز & # 39 ؛ نظرية

ما هي نظرية بايز؟

نظرية بايز ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني توماس بايز في القرن الثامن عشر ، هي صيغة رياضية لتحديد الاحتمال الشرطي. الاحتمال الشرطي هو احتمال حدوث نتيجة ، بناءً على نتيجة سابقة حدثت في ظروف مماثلة. توفر نظرية بايز طريقة لمراجعة التنبؤات أو النظريات الحالية (احتمالات التحديث) في ضوء أدلة جديدة أو إضافية.

في التمويل ، يمكن استخدام نظرية بايز لتقييم مخاطر إقراض الأموال للمقترضين المحتملين. تسمى النظرية أيضًا قانون بايز أو قانون بايز وهي أساس مجال إحصائيات بايز.

فهم نظرية بايز

تطبيقات نظرية بايز منتشرة ولا تقتصر على المجال المالي. على سبيل المثال ، يمكن استخدام نظرية بايز لتحديد دقة نتائج الاختبارات الطبية من خلال مراعاة مدى احتمالية إصابة أي شخص بمرض والدقة العامة للاختبار. تعتمد نظرية بايز على دمج توزيعات احتمالية سابقة لتوليد احتمالات لاحقة.

الاحتمال السابق ، في الاستدلال الإحصائي البايزي ، هو احتمال وقوع حدث قبل جمع بيانات جديدة. بمعنى آخر ، إنه يمثل أفضل تقييم منطقي لاحتمال نتيجة معينة بناءً على المعرفة الحالية قبل إجراء التجربة.

الاحتمال اللاحق هو الاحتمال المنقح لحدث ما بعد الأخذ في الاعتبار المعلومات الجديدة. يتم حساب الاحتمال اللاحق عن طريق تحديث الاحتمال السابق باستخدام نظرية بايز. من الناحية الإحصائية ، فإن الاحتمال اللاحق هو احتمال وقوع الحدث A بالنظر إلى وقوع الحدث B.

إعتبارات خاصة

وبالتالي ، فإن نظرية بايز تعطي احتمالية وقوع حدث بناءً على معلومات جديدة مرتبطة أو قد تكون مرتبطة بهذا الحدث. يمكن أيضًا استخدام الصيغة لتحديد كيفية تأثر احتمالية وقوع حدث ما بمعلومات افتراضية جديدة ، بافتراض أن المعلومات الجديدة ستصبح صحيحة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك سحب بطاقة واحدة من مجموعة كاملة من 52 بطاقة.

احتمال أن تكون البطاقة ملكًا هو أربعة مقسومًا على 52 ، وهو ما يساوي 1/13 أو ما يقرب من 7.69٪. تذكر أن هناك أربعة ملوك على ظهر السفينة. الآن ، افترض أنه تم الكشف عن أن البطاقة المحددة هي بطاقة وجه. احتمال أن تكون البطاقة المحددة ملكًا ، نظرًا لأنها بطاقة وجه ، فهي أربعة مقسومة على 12 ، أو ما يقرب من 33.3٪ ، حيث يوجد 12 بطاقة وجه في مجموعة.

صيغة لنظرية بايز

$\ start & amp؛ P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdot {P \ left (B | A \ right)}} {P \ left (B \ right) )} \ & amp؛ \ textbf {حيث:} \ & amp؛ P \ left (A \ right) = \ text {احتمال حدوث A} \ & amp؛ P \ left (B \ right) = \ text { احتمال حدوث B} \ & amp؛ P \ left (A | B \ right) = \ text {احتمال A معطى B} \ & amp؛ P \ left (B | A \ right) = \ text {The احتمال B معطى A} \ & amp؛ P \ left (A \ bigcap \ right)) = \ text {احتمال حدوث كل من A و B} \ \ end$ P ( A ∣ B ) = P ( B ) P ( A ⋂ B ) = P ( B ) P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) حيث: P ( A ) = احتمالية حدوث A P ( B ) = احتمال حدوث ب P ( A ∣ B ) = احتمال A معين B P ( B ∣ A ) = احتمال B المعطى A P ( A ⋂ B ) ) = احتمال حدوث كل من A و B

أمثلة على نظرية بايز

يوجد أدناه مثالان على نظرية بايز حيث يوضح المثال الأول كيف يمكن اشتقاق الصيغة في مثال استثمار الأسهم باستخدام Amazon.com Inc. (AMZN). المثال الثاني يطبق نظرية بايز على اختبار الأدوية الصيدلانية.

اشتقاق صيغة نظرية بايز

تتبع نظرية بايز ببساطة من بديهيات الاحتمال الشرطي. الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث بالنظر إلى وقوع حدث آخر. على سبيل المثال ، قد يطرح سؤال احتمالي بسيط: "ما هو احتمال انخفاض سعر سهم Amazon.com؟" يأخذ الاحتمال الشرطي هذا السؤال خطوة إلى الأمام من خلال طرح السؤال التالي: "ما هو احتمال انخفاض سعر سهم AMZN ** بالنظر إلى انخفاض مؤشر Dow Jones الصناعي (DJIA) في وقت سابق؟"

يمكن التعبير عن الاحتمال الشرطي لـ A بالنظر إلى حدوث B على النحو التالي:

إذا كانت A هي: "انخفاض سعر AMZN" ، فإن P (AMZN) هي احتمال انخفاض AMZN ؛ و B هو: "DJIA معطلة بالفعل" ، و P (DJIA) هو احتمال سقوط DJIA ؛ ثم يقرأ تعبير الاحتمال الشرطي على أنه "احتمال انخفاض AMZN نظرًا لانخفاض مؤشر DJIA يساوي احتمال انخفاض سعر AMZN وانخفاض مؤشر DJIA بسبب احتمال حدوث انخفاض في مؤشر DJIA.

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN و DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN و DJIA) هو احتمال حدوث ** على حد سواء ** A و B. هذا أيضًا هو نفس احتمال حدوث A مضروبًا في احتمال حدوث B نظرًا لحدوث A ، معبرًا عنه P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). تؤدي حقيقة أن هذين التعبيرين متساويين إلى نظرية بايز ، والتي تتم كتابتها على النحو التالي:

if، P (AMZN and DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

إذن ، P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).

حيث P (AMZN) و P (DJIA) هما احتمالية هبوط أمازون وداو جونز ، بغض النظر عن بعضهما البعض.

تشرح الصيغة العلاقة بين احتمال الفرضية قبل رؤية الدليل على أن P (AMZN) ، واحتمال الفرضية بعد الحصول على الدليل P (AMZN | DJIA) ، بالنظر إلى فرضية Amazon المعطاة في دليل داو.

مثال عددي لنظرية بايز

كمثال عددي ، تخيل أن هناك اختبارًا للعقار بدقة 98٪ ، أي أن 98٪ من الوقت تظهر نتيجة إيجابية حقيقية لشخص يستخدم الدواء ، و 98٪ من الوقت تظهر نتيجة سلبية حقيقية لغير مستخدمي الدواء.

بعد ذلك ، افترض أن 0.5٪ من الأشخاص يستخدمون العقار. إذا كان الشخص الذي تم اختياره عشوائيًا إيجابيًا للعقار ، فيمكن إجراء الحسابات التالية لتحديد احتمال أن يكون الشخص بالفعل مستخدمًا للعقار.

(0.98 × 0.005) / [(0.98 × 0.005) + ((1 - 0.98) × (1 - 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76٪

تُظهر نظرية بايز أنه حتى إذا كانت نتيجة اختبار الشخص إيجابية في هذا السيناريو ، فهناك احتمال بنسبة 80٪ تقريبًا ألا يأخذ الشخص الدواء.

أسئلة مكررة.

الخط السفلي

في أبسط صورها ، تأخذ نظرية بايز نتيجة الاختبار وتربطها بالاحتمال الشرطي لنتيجة الاختبار هذه في ضوء الأحداث الأخرى ذات الصلة. بالنسبة للإيجابيات الكاذبة ذات الاحتمالية العالية ، تعطي النظرية احتمالية أكثر منطقية لنتيجة معينة.

يسلط الضوء

تسمح لك نظرية بايز بتحديث الاحتمالات المتوقعة لحدث ما من خلال دمج معلومات جديدة.
غالبًا ما يتم توظيفه في التمويل في حساب أو تحديث تقييم المخاطر.
أصبحت النظرية عنصرًا مفيدًا في تنفيذ التعلم الآلي.
سميت نظرية بايز على اسم عالم الرياضيات توماس بايز من القرن الثامن عشر.
ظلت النظرية غير مستخدمة لمدة قرنين من الزمان بسبب الحجم الكبير للقدرة الحسابية المطلوبة لتنفيذ معاملاتها.

التعليمات

ما هي حاسبة نظرية بايز؟

تقدر حاسبة نظرية بايز احتمال وقوع حدث ** A ** مشروط بحدث آخر ** B ** ، بالنظر إلى الاحتمالات السابقة ** A ** و ** B ** ، واحتمال ** B ** مشروطة ** أ **. يحسب الاحتمالات الشرطية بناءً على الاحتمالات المعروفة.

ما هو تاريخ نظرية بايز؟

تم اكتشاف النظرية بين أوراق الوزير الإنجليزي المشيخي وعالم الرياضيات توماس بايز وتم نشرها بعد وفاته من خلال قراءتها إلى الجمعية الملكية في عام 1763. تم تجاهل نظرية بايز منذ فترة طويلة لصالح الحسابات المنطقية ، وقد أصبحت مؤخرًا أكثر شيوعًا بسبب زيادة القدرة الحسابية لأداء حساباتها المعقدة. أدت هذه التطورات إلى زيادة في التطبيقات التي تستخدم نظرية بايز. يتم تطبيقه الآن على مجموعة متنوعة من حسابات الاحتمالات ، بما في ذلك الحسابات المالية ، وعلم الوراثة ، وتعاطي المخدرات ، والسيطرة على الأمراض.

ما هي حالة نظرية بايز؟

تنص نظرية بايز على أن الاحتمال الشرطي لحدث ما ، بناءً على وقوع حدث آخر ، يساوي احتمالية وقوع الحدث الثاني في ضوء الحدث الأول مضروبًا في احتمالية الحدث الأول.

كيف تُستخدم نظرية بايز في التعلم الآلي؟

توفر نظرية بايز طريقة مفيدة للتفكير في العلاقة بين مجموعة البيانات والاحتمال. بمعنى آخر ، تقول النظرية أن احتمال أن تكون فرضية معينة صحيحة بناءً على بيانات محددة ملحوظة يمكن تحديدها على أنها إيجاد احتمال مراقبة البيانات بالنظر إلى الفرضية مضروبة في احتمال أن تكون الفرضية صحيحة بغض النظر عن البيانات ، مقسمة من خلال احتمال مراقبة البيانات بغض النظر عن الفرضية.

ما الذي تحسبه نظرية بايز؟

تحسب نظرية بايز الاحتمال الشرطي لحدث ما ، بناءً على قيم الاحتمالات المعروفة ذات الصلة.

بايز &amp; # 39 ؛ نظرية