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Bayes' Teorema

Bayes' Teorema

O que é o Teorema de Bayes?

O Teorema de Bayes, em homenagem ao matemático britânico do século XVIII Thomas Bayes, é uma fórmula matemática para determinar a probabilidade condicional. A probabilidade condicional é a probabilidade de um resultado ocorrer, com base em um resultado anterior que ocorreu em circunstâncias semelhantes. O teorema de Bayes fornece uma maneira de revisar previsões ou teorias existentes (probabilidades de atualização) dadas evidências novas ou adicionais.

Em finanças, o Teorema de Bayes pode ser usado para avaliar o risco de emprestar dinheiro a potenciais mutuários. O teorema também é chamado de Regra de Bayes ou Lei de Bayes e é a base do campo da estatística Bayesiana.

Entendendo o Teorema de Bayes

As aplicações do Teorema de Bayes são difundidas e não se limitam ao domínio financeiro. Por exemplo, o teorema de Bayes pode ser usado para determinar a precisão dos resultados dos exames médicos, levando em consideração a probabilidade de uma determinada pessoa ter uma doença e a precisão geral do teste. O teorema de Bayes baseia-se na incorporação de distribuições de probabilidades anteriores para gerar probabilidades posteriores.

A probabilidade anterior, na inferência estatística Bayesiana, é a probabilidade de um evento ocorrer antes que novos dados sejam coletados. Em outras palavras, representa a melhor avaliação racional da probabilidade de um determinado resultado com base no conhecimento atual antes que um experimento seja realizado.

Probabilidade posterior é a probabilidade revisada de um evento ocorrer após levar em consideração as novas informações. A probabilidade posterior é calculada atualizando a probabilidade anterior usando o teorema de Bayes. Em termos estatísticos, a probabilidade posterior é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu.

Considerações Especiais

Assim, o Teorema de Bayes fornece a probabilidade de um evento com base em novas informações que estão ou podem estar relacionadas a esse evento. A fórmula também pode ser usada para determinar como a probabilidade de um evento ocorrer pode ser afetada por novas informações hipotéticas, supondo que as novas informações se tornem verdadeiras.

Por exemplo, considere tirar uma única carta de um baralho completo de 52 cartas.

A probabilidade de que a carta seja um rei é quatro dividido por 52, o que equivale a 1/13 ou aproximadamente 7,69%. Lembre-se que há quatro reis no baralho. Agora, suponha que seja revelado que a carta selecionada é uma carta de rosto. A probabilidade de a carta selecionada ser um rei, dado que é uma carta com figuras, é quatro dividido por 12, ou aproximadamente 33,3%, pois há 12 cartas com figuras em um baralho.

Fórmula do Teorema de Bayes

P( AB)=P(A B)P(< /mo>B)= P(A)< mo> ⋅ P(BA)P< mrow>(< mi>B)<mtr onde: P(A) = A probabilidade de ocorrência de AP (B)= < mtext> A probabilidade de B ocorrer < /mrow></mstyle e>P(AB)</ mrow>=A probabilidade de A dado B< mi>P(BA</ mi>)= A probabilidade de B dado A</ mtd>P(AB))=</ mo> A probabilidade de A e B ocorrerem \begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\direita)}{P\esquerda(B\direita)}=\frac{P\esquerda(A\direita)\cdot{P\esquerda(B|A\direita)}}{P\esquerda(B\direita )}\ &\textbf\ &P\left(A\right)=\text{ A probabilidade de ocorrência de A}\ &P\left(B\right)=\text\ &P\left(A|B\right)=\text\ &P\left(B|A\right)=\text\ &P\left(A\bigcap\right))=\text\ \end</ semântica>

Exemplos do Teorema de Bayes

Abaixo estão dois exemplos do Teorema de Bayes no qual o primeiro exemplo mostra como a fórmula pode ser derivada em um exemplo de investimento em ações usando a Amazon.com Inc. (AMZN). O segundo exemplo aplica o teorema de Bayes ao teste de drogas farmacêuticas.

Derivando a Fórmula do Teorema de Bayes

O Teorema de Bayes segue simplesmente dos axiomas da probabilidade condicional. A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento dado que outro evento ocorreu. Por exemplo, uma simples questão de probabilidade pode perguntar: "Qual é a probabilidade de o preço das ações da Amazon.com cair?" A probabilidade condicional leva essa questão um passo adiante, perguntando: "Qual é a probabilidade de o preço das ações da AMZN cair dado que o índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) caiu antes?"

A probabilidade condicional de A dado que B aconteceu pode ser expressa como:

Se A for: "Preço AMZN cai" então P(AMZN) é a probabilidade de que AMZN caia; e B é: "DJIA já caiu", e P(DJIA) é a probabilidade de que o DJIA caiu; então a expressão de probabilidade condicional é lida como "a probabilidade de que o AMZN caia dado um declínio do DJIA é igual à probabilidade de que o preço do AMZN caia e o DJIA caia sobre a probabilidade de uma diminuição no índice DJIA.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN e DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN e DJIA) é a probabilidade de ambos A e B ocorrerem. Isso também é o mesmo que a probabilidade de A ocorrer multiplicada pela probabilidade de B ocorrer dado que A ocorre, expressa como P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). O fato de essas duas expressões serem iguais leva ao teorema de Bayes, que é escrito como:

se, P(AMZN e DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

então, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Onde P(AMZN) e P(DJIA) são as probabilidades de queda da Amazon e do Dow Jones, sem considerar um ao outro.

A fórmula explica a relação entre a probabilidade da hipótese antes de ver a evidência que P(AMZN), e a probabilidade da hipótese depois de obter a evidência P(AMZN|DJIA), dada uma hipótese para a Amazon dada evidência no Dow.

Exemplo Numérico do Teorema de Bayes

Como exemplo numérico, imagine que há um teste de drogas com 98% de precisão, o que significa que 98% das vezes mostra um resultado positivo verdadeiro para alguém que usa a droga e 98% das vezes mostra um resultado negativo verdadeiro para não usuários da droga.

Em seguida, suponha que 0,5% das pessoas usem a droga. Se uma pessoa selecionada aleatoriamente testar positivo para a droga, o seguinte cálculo pode ser feito para determinar a probabilidade de que a pessoa seja realmente um usuário da droga.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%

O Teorema de Bayes mostra que, mesmo se uma pessoa testar positivo nesse cenário, há uma chance de aproximadamente 80% de que a pessoa não tome o medicamento.

Perguntas frequentes.

A linha de fundo

Em sua forma mais simples, o Teorema de Bayes pega um resultado de teste e o relaciona com a probabilidade condicional desse resultado de teste dado outros eventos relacionados. Para falsos positivos de alta probabilidade, o Teorema fornece uma probabilidade mais fundamentada de um resultado específico.

##Destaques

  • O Teorema de Bayes permite atualizar as probabilidades previstas de um evento incorporando novas informações.

  • É frequentemente empregado em finanças no cálculo ou atualização da avaliação de risco.

  • O teorema tornou-se um elemento útil na implementação do aprendizado de máquina.

  • O Teorema de Bayes foi nomeado em homenagem ao matemático do século XVIII Thomas Bayes.

  • O teorema foi utilizado por dois séculos devido ao alto volume de capacidade de cálculo necessário para executar suas transações.

##PERGUNTAS FREQUENTES

O que é uma calculadora de teorema de Bayes?

A Calculadora do Teorema de Bayes calcula a probabilidade de um evento A condicional a outro evento B, dadas as probabilidades anteriores de A e B, e a probabilidade de **B ** condicional em A. Ele calcula probabilidades condicionais com base em probabilidades conhecidas.

Qual é a história do Teorema de Bayes?

O teorema foi descoberto entre os papéis do ministro presbiteriano inglês e matemático Thomas Bayes e publicado postumamente ao ser lido para a Royal Society em 1763. Por muito tempo ignorado em favor dos cálculos booleanos, o teorema de Bayes recentemente se tornou mais popular devido ao aumento da capacidade de cálculo para realizar seus cálculos complexos. Esses avanços levaram a um aumento nas aplicações usando o teorema de Bayes. Ele agora é aplicado a uma ampla variedade de cálculos de probabilidade, incluindo cálculos financeiros, genética, uso de drogas e controle de doenças.

O que o teorema de Bayes afirma?

O Teorema de Bayes afirma que a probabilidade condicional de um evento, baseada na ocorrência de outro evento, é igual à probabilidade do segundo evento dado o primeiro evento multiplicado pela probabilidade do primeiro evento.

Como o teorema de Bayes é usado no aprendizado de máquina?

O Teorema de Bayes fornece um método útil para pensar sobre a relação entre um conjunto de dados e uma probabilidade. Em outras palavras, o teorema diz que a probabilidade de uma determinada hipótese ser verdadeira com base em dados observados específicos pode ser declarada como encontrar a probabilidade de observar os dados da hipótese multiplicada pela probabilidade da hipótese ser verdadeira independentemente dos dados, dividida pela probabilidade de observar os dados independentemente da hipótese.

O que é calculado no Teorema de Bayes?

O Teorema de Bayes calcula a probabilidade condicional de um evento, com base nos valores de probabilidades conhecidas relacionadas específicas.