Bayes' Teorem

Hva er Bayes' teorem?

Bayes' teorem, oppkalt etter den britiske matematikeren Thomas Bayes fra 1700-tallet, er en matematisk formel for å bestemme betinget sannsynlighet. Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for at et utfall inntreffer, basert på at et tidligere utfall har skjedd under lignende omstendigheter. Bayes' teorem gir en måte å revidere eksisterende spådommer eller teorier (oppdateringssannsynligheter) gitt nye eller ytterligere bevis.

Innen finans kan Bayes' teorem brukes til å vurdere risikoen ved å låne ut penger til potensielle låntakere. Teoremet kalles også Bayes' regel eller Bayes' lov og er grunnlaget for feltet Bayesiansk statistikk.

Forstå Bayes' teorem

Anvendelser av Bayes 'teorem er utbredt og ikke begrenset til det økonomiske området. For eksempel kan Bayes' teorem brukes til å bestemme nøyaktigheten av medisinske testresultater ved å ta i betraktning hvor sannsynlig en gitt person er å ha en sykdom og den generelle nøyaktigheten av testen. Bayes' teorem er avhengig av å inkorporere tidligere sannsynlighetsfordelinger for å generere posteriore sannsynligheter.

Tidligere sannsynlighet, i Bayesiansk statistisk slutning, er sannsynligheten for at en hendelse inntreffer før nye data samles inn. Det representerer med andre ord den beste rasjonelle vurderingen av sannsynligheten for et bestemt utfall basert på dagens kunnskap før et eksperiment utføres.

Posterior sannsynlighet er den reviderte sannsynligheten for at en hendelse inntreffer etter å ha tatt hensyn til den nye informasjonen. Posterior sannsynlighet beregnes ved å oppdatere den tidligere sannsynligheten ved å bruke Bayes' teorem. I statistiske termer er den bakre sannsynligheten sannsynligheten for at hendelse A inntreffer gitt at hendelse B har skjedd.

Spesielle hensyn

Bayes' teorem gir dermed sannsynligheten for en hendelse basert på ny informasjon som er, eller kan være, relatert til den hendelsen. Formelen kan også brukes til å bestemme hvordan sannsynligheten for at en hendelse inntreffer kan bli påvirket av hypotetisk ny informasjon, forutsatt at den nye informasjonen vil vise seg å være sann.

Vurder for eksempel å trekke ett enkelt kort fra en komplett kortstokk med 52 kort.

Sannsynligheten for at kortet er en konge er fire delt på 52, som tilsvarer 1/13 eller omtrent 7,69%. Husk at det er fire konger i kortstokken. Anta nå at det blir avslørt at det valgte kortet er et ansiktskort. Sannsynligheten for at det valgte kortet er en konge, gitt at det er et bildekort, er fire delt på 12, eller omtrent 33,3 %, ettersom det er 12 ansiktskort i en kortstokk.

Formel for Bayes' teorem

$\begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right) )}\ &\textbf\ &P\left(A\right)=\text\ &P\left(B\right)=\text{ Sannsynligheten for at B oppstår}\ &P\left(A|B\right)=\text\ &P\left(B|A\right)=\text\ &P\left(A\bigcap\right))=\text{ Sannsynligheten for at både A og B forekommer}\ \end$

Eksempler på Bayes' teorem

Nedenfor er to eksempler på Bayes' teorem der det første eksemplet viser hvordan formelen kan utledes i et aksjeinvesteringseksempel ved å bruke Amazon.com Inc. (AMZN). Det andre eksemplet anvender Bayes' teorem på farmasøytisk medikamenttesting.

Utlede Bayes' teoremformel

Bayes' teorem følger ganske enkelt fra aksiomene for betinget sannsynlighet. Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for en hendelse gitt at en annen hendelse inntraff. For eksempel kan et enkelt sannsynlighetsspørsmål spørre: "Hva er sannsynligheten for at Amazon.coms aksjekurs faller?" Betinget sannsynlighet tar dette spørsmålet et skritt videre ved å spørre: "Hva er sannsynligheten for at AMZN-aksjekursen faller gitt at Dow Jones Industrial Average (DJIA)-indeksen falt tidligere?"

Den betingede sannsynligheten for A gitt at B har skjedd kan uttrykkes som:

Hvis A er: "AMZN-prisen faller" så er P(AMZN) sannsynligheten for at AMZN faller; og B er: "DJIA er allerede nede," og P(DJIA) er sannsynligheten for at DJIA falt; så lyder det betingede sannsynlighetsuttrykket som "sannsynligheten for at AMZN faller gitt en DJIA-nedgang er lik sannsynligheten for at AMZN-prisen synker og DJIA synker over sannsynligheten for en nedgang i DJIA-indeksen.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN og DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN og DJIA) er sannsynligheten for at både A og B forekommer. Dette er også det samme som sannsynligheten for at A oppstår multiplisert med sannsynligheten for at B oppstår gitt at A oppstår, uttrykt som P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Det faktum at disse to uttrykkene er like fører til Bayes' teorem, som er skrevet som:

hvis, P(AMZN og DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

deretter, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Der P(AMZN) og P(DJIA) er sannsynlighetene for at Amazon og Dow Jones faller, uten hensyn til hverandre.

Formelen forklarer forholdet mellom sannsynligheten for hypotesen før du ser beviset for at P(AMZN), og sannsynligheten for hypotesen etter å ha fått beviset P(AMZN|DJIA), gitt en hypotese for Amazon gitt bevis i Dow.

Talleksempel på Bayes' teorem

Tenk deg som et numerisk eksempel at det er en stofftest som er 98 % nøyaktig, noe som betyr at 98 % av tiden viser et sant positivt resultat for noen som bruker stoffet, og 98 % av gangene viser det et sant negativt resultat for ikke-brukere av stoffet.

Anta deretter at 0,5 % av folk bruker stoffet. Hvis en tilfeldig valgt person tester positivt for stoffet, kan følgende beregning gjøres for å bestemme sannsynligheten for at personen faktisk er en bruker av stoffet.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76 %

Bayes' teorem viser at selv om en person testet positivt i dette scenariet, er det en omtrent 80 % sjanse for at personen ikke tar stoffet.

Ofte stilte spørsmål.

Bunnlinjen

På det enkleste tar Bayes' teorem et testresultat og relaterer det til den betingede sannsynligheten for det testresultatet gitt andre relaterte hendelser. For falske positiver med høy sannsynlighet gir teoremet en mer begrunnet sannsynlighet for et bestemt utfall.

##Høydepunkter

• Bayes' teorem lar deg oppdatere de forutsagte sannsynlighetene for en hendelse ved å inkorporere ny informasjon.

• Det brukes ofte innen finans for å beregne eller oppdatere risikoevaluering.

– Teoremet har blitt et nyttig element i implementeringen av maskinlæring.

• Bayes' teorem ble oppkalt etter matematikeren Thomas Bayes fra 1700-tallet.

• Teoremet var ubrukt i to århundrer på grunn av det høye volumet av beregningskapasitet som kreves for å utføre transaksjonene.

##FAQ

Hva er en Bayes' Teorem-kalkulator?

En Bayes' teoremkalkulator beregner sannsynligheten for en hendelse A betinget av en annen hendelse B, gitt de tidligere sannsynlighetene for A og B, og sannsynligheten for **B ** betinget av A. Den beregner betingede sannsynligheter basert på kjente sannsynligheter.

Hva er historien til Bayes' teorem?

Teoremet ble oppdaget blant papirene til den engelske presbyterianske ministeren og matematikeren Thomas Bayes og publisert postuum ved å bli lest opp for Royal Society i 1763. Bayes' teorem har lenge blitt ignorert til fordel for boolske beregninger, og har nylig blitt mer populær på grunn av økt kalkulasjonskapasitet for å utføre komplekse beregninger. Disse fremskrittene har ført til en økning i bruken av Bayes' teorem. Den brukes nå på en lang rekke sannsynlighetsberegninger, inkludert økonomiske beregninger, genetikk, medikamentbruk og sykdomskontroll.

Hva sier Bayes' teorem?

Bayes' teorem sier at den betingede sannsynligheten for en hendelse, basert på forekomsten av en annen hendelse, er lik sannsynligheten for den andre hendelsen gitt den første hendelsen multiplisert med sannsynligheten for den første hendelsen.

Hvordan brukes Bayes' teorem i maskinlæring?

Bayes Teorem gir en nyttig metode for å tenke på forholdet mellom et datasett og en sannsynlighet. Med andre ord sier teoremet at sannsynligheten for at en gitt hypotese er sann basert på spesifikke observerte data kan angis som å finne sannsynligheten for å observere dataene gitt hypotesen multiplisert med sannsynligheten for at hypotesen er sann uavhengig av dataene, delt av sannsynligheten for å observere dataene uavhengig av hypotesen.

Hva beregnes i Bayes' teorem?

Bayes' teorem beregner den betingede sannsynligheten for en hendelse, basert på verdiene til spesifikke relaterte kjente sannsynligheter.