Bayesa' Twierdzenie
Co to jest twierdzenie Bayesa?
Twierdzenie Bayesa, nazwane na cześć XVIII-wiecznego brytyjskiego matematyka Thomasa Bayesa, jest matematyczną formułą określającą prawdopodobieństwo warunkowe. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku, oparte na poprzednim wyniku, który wystąpił w podobnych okolicznościach. Twierdzenie Bayesa umożliwia zrewidowanie istniejących przewidywań lub teorii (aktualizacja prawdopodobieństw) na podstawie nowych lub dodatkowych dowodów.
W finansach twierdzenie Bayesa można wykorzystać do oceny ryzyka pożyczania pieniędzy potencjalnym pożyczkobiorcom. Twierdzenie to jest również nazywane regułą Bayesa lub prawem Bayesa i jest podstawą dziedziny statystyki bayesowskiej.
Zrozumienie twierdzenia Bayesa
Zastosowania twierdzenia Bayesa są szeroko rozpowszechnione i nie ograniczają się do sfery finansowej. Na przykład twierdzenie Bayesa można wykorzystać do określenia dokładności wyników testów medycznych, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo wystąpienia choroby u danej osoby oraz ogólną dokładność testu. Twierdzenie Bayesa polega na włączeniu wcześniejszych rozkładów prawdopodobieństwa w celu wygenerowania prawdopodobieństw a posteriori.
Prawdopodobieństwo a priori, we wnioskowaniu statystycznym bayesowskim, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przed zebraniem nowych danych. Innymi słowy, reprezentuje najlepszą racjonalną ocenę prawdopodobieństwa konkretnego wyniku w oparciu o aktualną wiedzę przed przeprowadzeniem eksperymentu.
Prawdopodobieństwo a posteriori to skorygowane prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia po uwzględnieniu nowych informacji. Prawdopodobieństwo a posteriori jest obliczane poprzez aktualizację prawdopodobieństwa a priori przy użyciu twierdzenia Bayesa. W kategoriach statystycznych prawdopodobieństwo a posteriori jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A, biorąc pod uwagę, że wystąpiło zdarzenie B.
Uwagi specjalne
Twierdzenie Bayesa podaje zatem prawdopodobieństwo zdarzenia w oparciu o nowe informacje, które są lub mogą być związane z tym zdarzeniem. Wzór można również wykorzystać do określenia, w jaki sposób hipotetyczne nowe informacje mogą wpłynąć na prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, zakładając, że nowe informacje okażą się prawdziwe.
Na przykład rozważ dobranie jednej karty z całej talii 52 kart.
Prawdopodobieństwo, że karta jest królem, to cztery podzielone przez 52, co daje 1/13 lub około 7,69%. Pamiętaj, że w talii są cztery króle. Załóżmy teraz, że zostanie ujawnione, że wybrana karta jest figurą. Prawdopodobieństwo, że wybrana karta jest królem, biorąc pod uwagę, że jest to figura, wynosi cztery podzielone przez 12, czyli około 33,3%, ponieważ w talii jest 12 figur.
Wzór na twierdzenie Bayesa
Przykłady twierdzenia Bayesa
Poniżej znajdują się dwa przykłady twierdzenia Bayesa, w których pierwszy przykład pokazuje, jak można wyprowadzić wzór w przykładzie inwestowania w akcje przy użyciu Amazon.com Inc. (AMZN). Drugi przykład stosuje twierdzenie Bayesa do testowania leków farmaceutycznych.
Wyprowadzanie wzoru na twierdzenie Bayesa
Twierdzenie Bayesa wynika po prostu z aksjomatów prawdopodobieństwa warunkowego. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo zdarzenia, biorąc pod uwagę, że zaszło inne zdarzenie. Na przykład proste pytanie dotyczące prawdopodobieństwa może brzmieć: „Jakie jest prawdopodobieństwo spadku ceny akcji Amazon.com?” Prawdopodobieństwo warunkowe idzie o krok dalej, pytając: „Jakie jest prawdopodobieństwo spadku kursu akcji AMZN ** biorąc pod uwagę, że ** indeks Dow Jones Industrial Average (DJIA) spadł wcześniej?”
Warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia A przy założeniu, że zaszło B, można wyrazić jako:
Jeżeli A to: „Cena AMZN spada”, to P(AMZN) jest prawdopodobieństwem spadku AMZN; a B to: „DJIA już spadł”, a P(DJIA) to prawdopodobieństwo, że DJIA spadł; wtedy wyrażenie prawdopodobieństwa warunkowego brzmi: „Prawdopodobieństwo spadku AMZN przy spadku DJIA jest równe prawdopodobieństwu spadku ceny AMZN i spadku DJIA w stosunku do prawdopodobieństwa spadku indeksu DJIA.
P(AMZN|DJIA) = P(AMZN i DJIA) / P(DJIA)
P(AMZN i DJIA) to prawdopodobieństwo wystąpienia zarówno A, jak i B. Jest to również to samo, co prawdopodobieństwo wystąpienia A pomnożone przez prawdopodobieństwo wystąpienia B przy założeniu wystąpienia A, wyrażone jako P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Fakt, że te dwa wyrażenia są równe, prowadzi do twierdzenia Bayesa, które jest zapisane jako:
jeśli, P(AMZN i DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)
wtedy P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).
Gdzie P(AMZN) i P(DJIA) to prawdopodobieństwa upadku Amazona i Dow Jonesa, niezależnie od siebie.
Formuła wyjaśnia związek między prawdopodobieństwem hipotezy przed zobaczeniem dowodu, że P(AMZN), a prawdopodobieństwem hipotezy po uzyskaniu dowodu P(AMZN|DJIA), biorąc pod uwagę hipotezę dotyczącą dowodów podanych przez Amazon w Dow.
Numeryczny przykład twierdzenia Bayesa
Jako przykład liczbowy wyobraźmy sobie, że istnieje test narkotykowy, który jest dokładny w 98%, co oznacza, że w 98% przypadków pokazuje prawdziwie pozytywny wynik dla osoby zażywającej narkotyk, a w 98% pokazuje prawdziwie negatywny wynik dla osób nieużywających narkotyku.
Następnie załóżmy, że 0,5% osób używa narkotyku. Jeśli losowo wybrana osoba ma pozytywny wynik testu na obecność narkotyku, można wykonać następujące obliczenia w celu określenia prawdopodobieństwa, że osoba faktycznie używa narkotyku.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Twierdzenie Bayesa pokazuje, że nawet jeśli dana osoba uzyskała pozytywny wynik testu w tym scenariuszu, istnieje około 80% szans, że osoba nie zażyje leku.
Często Zadawane Pytania.
Podsumowanie
Mówiąc najprościej, twierdzenie Bayesa bierze wynik testu i wiąże go z prawdopodobieństwem warunkowym tego wyniku testu, biorąc pod uwagę inne powiązane zdarzenia. W przypadku wyników fałszywie dodatnich o wysokim prawdopodobieństwie twierdzenie daje bardziej uzasadnione prawdopodobieństwo określonego wyniku.
##Przegląd najważniejszych wydarzeń
Twierdzenie Bayesa umożliwia aktualizację przewidywanych prawdopodobieństw zdarzenia poprzez włączenie nowych informacji.
Jest często stosowany w finansach przy obliczaniu lub aktualizowaniu oceny ryzyka.
Twierdzenie stało się przydatnym elementem we wdrażaniu uczenia maszynowego.
Twierdzenie Bayesa zostało nazwane na cześć XVIII-wiecznego matematyka Thomasa Bayesa.
Twierdzenie to było nieużywane przez dwa stulecia ze względu na dużą pojemność obliczeniową wymaganą do realizacji jego transakcji.
##FAQ
Co to jest kalkulator twierdzenia Bayesa?
Kalkulator twierdzenia Bayesa oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia A uzależnionego od innego zdarzenia B, biorąc pod uwagę wcześniejsze prawdopodobieństwa A i B oraz prawdopodobieństwo **B ** uzależnione od A. Oblicza prawdopodobieństwa warunkowe na podstawie znanych prawdopodobieństw.
Jaka jest historia twierdzenia Bayesa?
Twierdzenie zostało odkryte w pracach angielskiego prezbiteriańskiego ministra i matematyka Thomasa Bayesa i opublikowane pośmiertnie w Royal Society w 1763 roku. Długo ignorowane na rzecz obliczeń logicznych, twierdzenie Bayesa stało się ostatnio bardziej popularne ze względu na zwiększoną zdolność obliczeniową do wykonywania złożonych obliczeń. Te postępy doprowadziły do wzrostu liczby aplikacji wykorzystujących twierdzenie Bayesa. Jest teraz stosowany do wielu różnych obliczeń prawdopodobieństwa, w tym obliczeń finansowych, genetyki, używania narkotyków i kontroli chorób.
Co stanowi twierdzenie Bayesa?
Twierdzenie Bayesa mówi, że prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, oparte na wystąpieniu innego zdarzenia, jest równe prawdopodobieństwu drugiego zdarzenia przy danym zdarzeniu pomnożonym przez prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia.
W jaki sposób twierdzenie Bayesa jest wykorzystywane w uczeniu maszynowym?
Twierdzenie Bayesa zapewnia użyteczną metodę myślenia o związku między zbiorem danych a prawdopodobieństwem. Innymi słowy, twierdzenie mówi, że prawdopodobieństwo prawdziwości danej hipotezy na podstawie konkretnych zaobserwowanych danych można określić jako znalezienie prawdopodobieństwa zaobserwowania danych danej hipotezy pomnożonego przez prawdopodobieństwo prawdziwości hipotezy niezależnie od danych, podzielone przez prawdopodobieństwo zaobserwowania danych niezależnie od hipotezy.
Co oblicza się w twierdzeniu Bayesa?
Twierdzenie Bayesa oblicza warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wartości określonych powiązanych znanych prawdopodobieństw.
