बेयस' प्रमेय

बेयस प्रमेय क्या है?

बेयस प्रमेय, जिसका नाम 18वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, सशर्त संभाव्यता निर्धारित करने के लिए एक गणितीय सूत्र है । सशर्त संभाव्यता एक समान परिस्थितियों में होने वाले पिछले परिणाम के आधार पर परिणाम होने की संभावना है। बेयस प्रमेय मौजूदा भविष्यवाणियों या सिद्धांतों को संशोधित करने का एक तरीका प्रदान करता है (अद्यतन संभावनाएं) नए या अतिरिक्त सबूत दिए गए हैं।

वित्त में, बेयस प्रमेय का उपयोग संभावित उधारकर्ताओं को पैसे उधार देने के जोखिम को रेट करने के लिए किया जा सकता है। प्रमेय को बेयस नियम या बेयस कानून भी कहा जाता है और यह बायेसियन सांख्यिकी के क्षेत्र की नींव है।

बेयस प्रमेय को समझना

बेयस प्रमेय के अनुप्रयोग व्यापक हैं और वित्तीय क्षेत्र तक सीमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, बेयस प्रमेय का उपयोग चिकित्सा परीक्षण के परिणामों की सटीकता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि किसी व्यक्ति को बीमारी होने की कितनी संभावना है और परीक्षण की सामान्य सटीकता है। बेयस का प्रमेय पश्च संभाव्यता उत्पन्न करने के लिए पूर्व संभाव्यता वितरण को शामिल करने पर निर्भर करता है ।

बायेसियन सांख्यिकीय अनुमान में पूर्व संभाव्यता, नए डेटा एकत्र किए जाने से पहले किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। दूसरे शब्दों में, यह प्रयोग करने से पहले वर्तमान ज्ञान के आधार पर किसी विशेष परिणाम की संभावना के सर्वोत्तम तर्कसंगत मूल्यांकन का प्रतिनिधित्व करता है।

पश्च प्रायिकता नई जानकारी को ध्यान में रखते हुए किसी घटना के घटित होने की संशोधित प्रायिकता है। पश्च प्रायिकता की गणना बेयस प्रमेय का उपयोग करके पूर्व संभाव्यता को अद्यतन करके की जाती है। सांख्यिकीय शब्दों में, पश्च प्रायिकता घटना A के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना B घटित हुई है।

विशेष ध्यान

बेयस प्रमेय इस प्रकार उस घटना से संबंधित नई जानकारी के आधार पर एक घटना की संभावना देता है, या हो सकता है। सूत्र का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना काल्पनिक नई जानकारी से कैसे प्रभावित हो सकती है, यह मानते हुए कि नई जानकारी सच हो जाएगी।

उदाहरण के लिए, 52 पत्तों के पूरे डेक में से एक कार्ड बनाने पर विचार करें।

कार्ड के राजा होने की प्रायिकता चार को 52 से विभाजित करती है, जो 1/13 या लगभग 7.69% के बराबर होती है। याद रखें कि डेक में चार राजा होते हैं। अब, मान लीजिए कि यह पता चला है कि चयनित कार्ड एक फेस कार्ड है। संभावना है कि चयनित कार्ड एक राजा है, यह एक फेस कार्ड है, चार को 12 से विभाजित किया गया है, या लगभग 33.3%, क्योंकि एक डेक में 12 फेस कार्ड हैं।

बेयस प्रमेय के लिए सूत्र

$\begin{aligned} P <moence="true">(ए ∣ B >< mfrac > P बी<mo बाड़="true">) P /mo> बी P <mofenence="true">(A <moence="true">) < mo> ⋅ P ∣ ए mrow><mo बाड़ = "सच">(< mi>B कहाँ: \\ पी <mo बाड़="true">(A <mo बाड़ = "सत्य">) = A होने की प्रायिकता \\ P <moence="true">(B <mofenence="true">) = < mtext> B होने की प्रायिकता \\ < /mrow></mstyle e> & P <mo बाड़ = "सत्य" >(A</ mi > mrow>=किसी दिए गए B की प्रायिकता \\ < mi>P <moence="true">(B</ mi > mi> mtd> \\ P <mofens="true">(A ⋂ B mo> A और B दोनों के घटित होने की प्रायिकता \end{aligned} <एनोटेशन एन्कोडिंग = "एप्लिकेशन/एक्स-टेक्स"> \ start {गठबंधन} और पी \ बाएं (ए | बी \ दाएं) = \ फ्रैक {पी \ बाएं (ए \ बिगकैप {बी }\दाएं)}{पी\बाएं(बी\दाएं)}=\frac{पी\बाएं(ए\दाएं)\cdot{पी\बाएं(बी|ए\दाएं)}}{पी\बाएं(बी\दाएं) )}\ &\textbf{कहां:}\ &P\बाएं(ए\दाएं)=\पाठ{ एक होने की संभावना}\ औरपी\बाएं(बी\दाएं)=\पाठ{ बी के होने की प्रायिकता}\ और पी\बाएं(ए|बी\दाएं)=\पाठ{ए दिए गए बी की प्रायिकता}\ औरपी\बाएं(बी|ए\दाएं)=\पाठ{ B दिए जाने की प्रायिकता A}\ &P\left(A\bigcap\right))=\text{ A और B दोनों के घटित होने की प्रायिकता}\ \end</ सेमेन्टिक्स>$

बेयस प्रमेय के उदाहरण

बेयस प्रमेय के दो उदाहरण नीचे दिए गए हैं जिसमें पहला उदाहरण दिखाता है कि Amazon.com इंक का उपयोग करके स्टॉक निवेश उदाहरण में सूत्र कैसे प्राप्त किया जा सकता है। (एएमजेडएन)। दूसरा उदाहरण दवा दवा परीक्षण के लिए बेयस प्रमेय को लागू करता है।

बेयस प्रमेय सूत्र की व्युत्पत्ति

बेयस का प्रमेय केवल सशर्त संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का अनुसरण करता है। सशर्त संभाव्यता एक घटना की संभावना है जो एक और घटना हुई है। उदाहरण के लिए, एक साधारण संभाव्यता प्रश्न पूछ सकता है: "Amazon.com के शेयर की कीमत गिरने की क्या संभावना है?" सशर्त संभाव्यता इस प्रश्न को यह पूछकर एक कदम आगे ले जाती है: "एएमजेडएन स्टॉक की कीमत गिरने की संभावना क्या है ** यह देखते हुए कि ** डॉव जोन्स इंडस्ट्रियल एवरेज (डीजेआईए) इंडेक्स पहले गिर गया?"

A की सशर्त प्रायिकता दी गई है कि B हुआ है, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

यदि A है: "AMZN की कीमत गिरती है" तो P(AMZN) AMZN के गिरने की प्रायिकता है; और बी है: "डीजेआईए पहले से ही नीचे है," और पी (डीजेआईए) संभावना है कि डीजेआईए गिर गया; तब सशर्त संभाव्यता अभिव्यक्ति के रूप में पढ़ता है "संभावना है कि एएमजेडएन ने डीजेआईए गिरावट को देखते हुए इस संभावना के बराबर है कि एएमजेडएन की कीमत में गिरावट और डीजेआईए डीजेआईए इंडेक्स में कमी की संभावना पर गिरावट आई है।

पी (एएमजेडएन | डीजेआईए) = पी (एएमजेडएन और डीजेआईए) / पी (डीजेआईए)

P(AMZN और DJIA) दोनों A और B होने की प्रायिकता है। यह भी वैसा ही है जैसा कि ए के होने की प्रायिकता को बी के होने की प्रायिकता से गुणा किया जाता है, जो कि ए होता है, जिसे पी (एएमजेडएन) एक्स पी (डीजेआईए | एएमजेडएन) के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तथ्य कि ये दोनों व्यंजक बराबर हैं, बेयस प्रमेय की ओर ले जाता है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

अगर, P(AMZN और DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

फिर, पी (एएमजेडएन | डीजेआईए) = [पी (एएमजेडएन) एक्स पी (डीजेआईए | एएमजेडएन)] / पी (डीजेआईए)।

जहां P(AMZN) और P(DJIA) एक दूसरे की परवाह किए बिना Amazon और Dow Jones के गिरने की संभावनाएं हैं।

यह सूत्र सबूतों को देखने से पहले परिकल्पना की संभावना के बीच संबंध की व्याख्या करता है कि P(AMZN), और साक्ष्य प्राप्त करने के बाद परिकल्पना की संभावना P(AMZN|DJIA), अमेज़ॅन के लिए डॉव में दिए गए साक्ष्य के लिए एक परिकल्पना दी गई है।

बेयस प्रमेय का संख्यात्मक उदाहरण

एक संख्यात्मक उदाहरण के रूप में, कल्पना करें कि एक दवा परीक्षण है जो 98% सटीक है, जिसका अर्थ है कि 98% समय, यह दवा का उपयोग करने वाले किसी व्यक्ति के लिए एक वास्तविक सकारात्मक परिणाम दिखाता है, और 98% समय, यह एक वास्तविक नकारात्मक परिणाम दिखाता है दवा के गैर उपयोगकर्ताओं के लिए।

इसके बाद, मान लें कि 0.5% लोग दवा का उपयोग करते हैं। यदि यादृच्छिक परीक्षण में चयनित व्यक्ति दवा के लिए सकारात्मक है, तो संभावना निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गणना की जा सकती है कि वह व्यक्ति वास्तव में दवा का उपयोगकर्ता है।

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 - 0.98) x (1 - 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

बेयस की प्रमेय से पता चलता है कि भले ही इस परिदृश्य में किसी व्यक्ति ने सकारात्मक परीक्षण किया हो, इस बात की लगभग 80% संभावना है कि वह व्यक्ति दवा नहीं लेता है।

अधिकतर पूछे जाने वाले सवाल।

तल - रेखा

अपने सरलतम रूप में, बेयस प्रमेय एक परीक्षा परिणाम लेता है और इसे अन्य संबंधित घटनाओं को देखते हुए उस परीक्षा परिणाम की सशर्त संभावना से संबंधित करता है। उच्च संभावना झूठी सकारात्मक के लिए, प्रमेय किसी विशेष परिणाम की अधिक तर्कसंगत संभावना देता है।

##हाइलाइट

बेयस प्रमेय आपको नई जानकारी को शामिल करके किसी घटना की अनुमानित संभावनाओं को अपडेट करने की अनुमति देता है।
यह अक्सर जोखिम मूल्यांकन की गणना या अद्यतन करने में वित्त में नियोजित होता है।
मशीन लर्निंग के कार्यान्वयन में प्रमेय एक उपयोगी तत्व बन गया है।
बेयस प्रमेय का नाम 18वीं सदी के गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया था।
अपने लेनदेन को निष्पादित करने के लिए आवश्यक गणना क्षमता की उच्च मात्रा के कारण प्रमेय दो शताब्दियों के लिए अप्रयुक्त था।

##सामान्य प्रश्न

बेयस प्रमेय कैलकुलेटर क्या है?

एक बेयस प्रमेय कैलकुलेटर एक घटना की संभावना का आंकलन करता है A किसी अन्य घटना पर सशर्त B, A और B की पूर्व संभावनाओं और **B की संभावना को देखते हुए ए पर सशर्त। यह ज्ञात संभावनाओं के आधार पर सशर्त संभावनाओं की गणना करता है।

बेयस प्रमेय का इतिहास क्या है?

प्रमेय को अंग्रेजी प्रेस्बिटेरियन मंत्री और गणितज्ञ थॉमस बेयस के पत्रों के बीच खोजा गया था और मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था जिसे 1763 में रॉयल सोसाइटी को पढ़ा गया था। बूलियन गणना के पक्ष में लंबे समय से अनदेखा किया गया, बेयस प्रमेय हाल ही में बढ़ी हुई गणना क्षमता के कारण अधिक लोकप्रिय हो गया है। इसकी जटिल गणना करने के लिए। इन अग्रिमों के कारण बेयस प्रमेय का उपयोग करने वाले अनुप्रयोगों में वृद्धि हुई है। यह अब वित्तीय गणना, आनुवंशिकी, नशीली दवाओं के उपयोग और रोग नियंत्रण सहित संभाव्यता गणनाओं की एक विस्तृत विविधता पर लागू होता है।

बेयस प्रमेय क्या बताता है?

बेयस प्रमेय कहता है कि एक घटना की सशर्त संभावना, दूसरी घटना की घटना के आधार पर, दूसरी घटना की संभावना के बराबर होती है, पहली घटना को पहली घटना की संभावना से गुणा किया जाता है।

मशीन लर्निंग में बेयस प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाता है?

बेयस प्रमेय डेटा सेट और प्रायिकता के बीच संबंध के बारे में सोचने के लिए एक उपयोगी विधि प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, प्रमेय कहता है कि विशिष्ट अवलोकन किए गए डेटा के आधार पर दी गई परिकल्पना के सच होने की संभावना को विभाजित किए गए डेटा की परवाह किए बिना परिकल्पना के सत्य होने की संभावना से गुणा करके दिए गए डेटा को देखने की संभावना को खोजने के रूप में कहा जा सकता है। परिकल्पना की परवाह किए बिना डेटा को देखने की संभावना से।

बेयस प्रमेय में क्या परिकलित किया जाता है?

बेयस प्रमेय विशिष्ट संबंधित ज्ञात संभावनाओं के मूल्यों के आधार पर किसी घटना की सशर्त संभावना की गणना करता है।