Bayes' Lause

Mikä on Bayesin lause?

Bayesin lause, joka on nimetty 1700-luvun brittiläisen matemaatikon Thomas Bayesin mukaan, on matemaattinen kaava ehdollisen todennäköisyyden määrittämiseksi. Ehdollinen todennäköisyys on tuloksen toteutumisen todennäköisyys, joka perustuu siihen, että aikaisempi lopputulos on tapahtunut samanlaisissa olosuhteissa. Bayesin lause tarjoaa tavan tarkistaa olemassa olevia ennusteita tai teorioita (päivitystodennäköisyyksiä) saatujen uusien tai lisätodistusten perusteella.

Rahoituksessa Bayesin lausetta voidaan käyttää arvioimaan riskiä lainata rahaa mahdollisille lainanottajille. Lauseesta käytetään myös nimitystä Bayesin sääntö tai Bayesin laki, ja se on Bayesin tilastokentän perusta.

Bayesin lauseen ymmärtäminen

Bayesin lauseen sovellukset ovat laajalle levinneitä eivätkä rajoitu vain rahoitusalaan. Esimerkiksi Bayesin lausetta voidaan käyttää lääketieteellisten testien tulosten tarkkuuden määrittämiseen ottamalla huomioon, kuinka todennäköistä on, että jollakin henkilöllä on sairaus ja testin yleinen tarkkuus. Bayesin lause perustuu aiempien todennäköisyysjakaumien sisällyttämiseen posteriorien todennäköisyyksien muodostamiseksi .

Bayesilaisessa tilastollisessa päätelmässä ennakkotodennäköisyys on tapahtuman todennäköisyys ennen uuden tiedon keräämistä. Toisin sanoen se edustaa parasta rationaalista arviota tietyn tuloksen todennäköisyydestä nykyisen tiedon perusteella ennen kokeen suorittamista.

Posteriori todennäköisyys on tarkistettu todennäköisyys sille, että tapahtuma tapahtuu uuden tiedon huomioimisen jälkeen. Posteriori todennäköisyys lasketaan päivittämällä priori todennäköisyys Bayesin lauseen avulla. Tilastollisesti posteriori todennäköisyys on tapahtuman A todennäköisyys, kun tapahtuma B on tapahtunut.

Erityisiä huomioita

Bayesin lause antaa siten tapahtuman todennäköisyyden perustuen uuteen tietoon, joka liittyy tai voi liittyä kyseiseen tapahtumaan. Kaavaa voidaan käyttää myös määrittämään, kuinka hypoteettinen uusi tieto voi vaikuttaa tapahtuman todennäköisyyteen, olettaen, että uusi tieto osoittautuu todeksi.

Harkitse esimerkiksi yhden kortin nostamista 52 kortin pakasta.

Todennäköisyys, että kortti on kuningas, on neljä jaettuna 52:lla, mikä on 1/13 eli noin 7,69%. Muista, että pakassa on neljä kuningasta. Oletetaan nyt, että paljastuu, että valittu kortti on kasvokortti. Valitun kortin todennäköisyys on kuningas, koska se on kasvokortti, on neljä jaettuna 12:lla eli noin 33,3 %, koska pakassa on 12 kuvakorttia.

Kaava Bayesin lauseelle

$\begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\oikea)}{P\left(B\oikea)}=\frac{P\left(A\oikea)\cdot{P\left(B|A\oikea)}}{P\left(B\oikea) )}\ &\textbf\ &P\left(A\right)=\text{ A:n esiintymistodennäköisyys}\ &P\left(B\right)=\text{ B:n esiintymistodennäköisyys}\ &P\left(A|B\right)=\text{A:n todennäköisyys B}\ &P\left(B|A\right)=\text{ B:n todennäköisyys annettuna A}\ &P\left(A\bigcap\right))=\text{ Sekä A:n että B:n esiintymisen todennäköisyys}\ \end$

Esimerkkejä Bayesin lauseesta

Alla on kaksi esimerkkiä Bayesin lauseesta, joissa ensimmäinen esimerkki osoittaa, kuinka kaava voidaan johtaa osakesijoitusesimerkissä Amazon.com Inc:n avulla. (AMZN). Toinen esimerkki soveltaa Bayesin lausetta farmaseuttiseen lääketestaukseen.

Bayesin lausekaavan johtaminen

Bayesin lause seuraa yksinkertaisesti ehdollisen todennäköisyyden aksioomista. Ehdollinen todennäköisyys on tapahtuman todennäköisyys, jos toinen tapahtuma on tapahtunut. Esimerkiksi yksinkertainen todennäköisyyskysymys voi kysyä: "Millä todennäköisyydellä Amazon.comin osakekurssi laskee?" Ehdollinen todennäköisyys vie tämän kysymyksen askeleen pidemmälle kysymällä: "Millä todennäköisyydellä AMZN-osakekurssi laskee ottaen huomioon, että Dow Jones Industrial Average (DJIA) -indeksi laski aiemmin?"

A:n ehdollinen todennäköisyys, kun B on tapahtunut, voidaan ilmaista seuraavasti:

Jos A on: "AMZN-hinta laskee", niin P(AMZN) on todennäköisyys, että AMZN laskee; ja B on: "DJIA on jo alhaalla," ja P(DJIA) on todennäköisyys, että DJIA putoaa; silloin ehdollinen todennäköisyyslauseke kuuluu seuraavasti: "todennäköisyys, että AMZN putoaa DJIA:n laskun vuoksi, on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että AMZN:n hinta laskee ja DJIA laskee DJIA-indeksin laskun todennäköisyydellä.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN ja DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN ja DJIA) on molempien A:n ja B:n esiintymisen todennäköisyys. Tämä on myös sama kuin A:n esiintymistodennäköisyys kerrottuna todennäköisyydellä, että B tapahtuu, kun A esiintyy, ilmaistuna P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Se, että nämä kaksi lauseketta ovat yhtä suuret, johtaa Bayesin lauseeseen, joka kirjoitetaan seuraavasti:

jos, P(AMZN ja DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

sitten P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Missä P(AMZN) ja P(DJIA) ovat todennäköisyydet, että Amazon ja Dow Jones putoavat toisistaan riippumatta.

Kaava selittää suhteen hypoteesin todennäköisyyden välillä ennen todisteiden näkemistä P(AMZN) ja hypoteesin todennäköisyyden välillä todisteiden saamisen jälkeen P(AMZN|DJIA), kun Amazonille on annettu Dow:ssa todisteita.

Numeerinen esimerkki Bayesin lauseesta

Kuvittele numeerisena esimerkkinä, että on olemassa huumetesti, jonka tarkkuus on 98 %, mikä tarkoittaa, että 98 % ajasta se näyttää todellisen positiivisen tuloksen jollekin, joka käyttää huumetta, ja 98 % ajasta se näyttää todellisen negatiivisen tuloksen. lääkkeen käyttäjille.

Seuraavaksi oletetaan, että 0,5 % ihmisistä käyttää huumeita. Jos satunnaisesti valittu henkilö antaa lääkkeen positiivisen testin, voidaan tehdä seuraava laskelma sen todennäköisyyden määrittämiseksi, että henkilö todella on lääkkeen käyttäjä.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76 %

Bayesin lause osoittaa, että vaikka henkilön testitulos olisi positiivinen tässä skenaariossa, on noin 80 %:n mahdollisuus, että henkilö ei ota lääkettä.

Usein Kysytyt Kysymykset.

Bottom Line

Yksinkertaisimmillaan Bayesin lause ottaa testituloksen ja suhteuttaa sen kyseisen testituloksen ehdolliseen todennäköisyyteen muiden asiaan liittyvien tapahtumien perusteella. Suuren todennäköisyyden väärissä positiivisissa tapauksissa Lause antaa perustellumman todennäköisyyden tietylle tulokselle.

##Kohokohdat

• Bayesin lauseen avulla voit päivittää tapahtuman ennustettuja todennäköisyyksiä sisällyttämällä siihen uutta tietoa.

• Sitä käytetään usein rahoituksessa riskiarvioinnin laskennassa tai päivittämisessä.

• Lauseesta on tullut hyödyllinen elementti koneoppimisen toteutuksessa.

• Bayesin lause on nimetty 1700-luvun matemaatikon Thomas Bayesin mukaan.

• Lause oli käyttämättä kaksi vuosisataa sen tapahtumien suorittamiseen tarvittavan suuren laskentakapasiteetin vuoksi.

##UKK

Mikä on Bayesin lauselaskin?

Bayesin lauselaskin laskee tapahtuman A todennäköisyyden ehdolla toiselle tapahtumalle B, kun otetaan huomioon A ja B aiemmat todennäköisyydet ja **B:n todennäköisyys. ** ehdollinen A. Se laskee ehdolliset todennäköisyydet tunnettujen todennäköisyyksien perusteella.

Mikä on Bayesin lauseen historia?

Lause löydettiin Englannin presbyteerien ministerin ja matemaatikon Thomas Bayesin kirjoituksista ja julkaistiin postuumisti, kun se luettiin Royal Societylle vuonna 1763. Bayesin lause on pitkään jätetty huomiotta Boolen laskelmien puolesta, ja se on viime aikoina tullut suositummaksi lisääntyneen laskentakapasiteetin ansiosta. monimutkaisten laskelmien suorittamiseen. Nämä edistysaskeleet ovat johtaneet Bayesin lauseen mukaisten sovellusten lisääntymiseen. Sitä sovelletaan nykyään monenlaisiin todennäköisyyslaskelmiin, mukaan lukien taloudelliset laskelmat, genetiikka, huumeiden käyttö ja tautien valvonta.

Mitä Bayesin lause sanoo?

Bayesin lause sanoo, että tapahtuman ehdollinen todennäköisyys, joka perustuu toisen tapahtuman esiintymiseen, on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyys ensimmäisellä tapahtumalla kerrottuna ensimmäisen tapahtuman todennäköisyydellä.

Kuinka Bayesin lausetta käytetään koneoppimisessa?

Bayesin lause tarjoaa hyödyllisen menetelmän ajatella tietojoukon ja todennäköisyyden välistä suhdetta. Toisin sanoen lause sanoo, että todennäköisyys sille, että tietty hypoteesi on totta tietyn havaitun datan perusteella, voidaan ilmaista niin, että todennäköisyys havainnoida dataa hypoteesilla kerrotaan hypoteesin todennäköisyydellä datasta riippumatta jaettuna. todennäköisyydellä tarkkailla dataa hypoteesista riippumatta.

Mitä Bayesin lauseessa lasketaan?

Bayesin lause laskee tapahtuman ehdollisen todennäköisyyden tiettyjen toisiinsa liittyvien tunnettujen todennäköisyyksien arvojen perusteella.