Bayes' Satz

Was ist der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes, benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis eintritt, basierend auf einem früheren Ergebnis, das unter ähnlichen Umständen eingetreten ist. Das Theorem von Bayes bietet eine Möglichkeit, bestehende Vorhersagen oder Theorien (Aktualisierungswahrscheinlichkeiten) zu revidieren, wenn neue oder zusätzliche Beweise vorliegen.

Im Finanzbereich kann das Bayes'sche Theorem verwendet werden, um das Risiko einzuschätzen, potenziellen Kreditnehmern Geld zu leihen. Der Satz wird auch als Bayessche Regel oder Bayessches Gesetz bezeichnet und ist die Grundlage des Gebiets der Bayesschen Statistik.

Den Satz von Bayes verstehen

Anwendungen des Satzes von Bayes sind weit verbreitet und nicht auf den Finanzbereich beschränkt. Beispielsweise kann das Theorem von Bayes verwendet werden, um die Genauigkeit medizinischer Testergebnisse zu bestimmen, indem berücksichtigt wird, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Person eine Krankheit hat, und die allgemeine Genauigkeit des Tests. Das Theorem von Bayes beruht auf der Einbeziehung von Prior-Wahrscheinlichkeitsverteilungen , um Posterior-Wahrscheinlichkeiten zu erzeugen .

Die vorherige Wahrscheinlichkeit ist in der bayesschen statistischen Inferenz die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, bevor neue Daten erfasst werden. Mit anderen Worten, es stellt die beste rationale Einschätzung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses basierend auf dem aktuellen Wissen dar, bevor ein Experiment durchgeführt wird.

Die nachträgliche Wahrscheinlichkeit ist die revidierte Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem die neuen Informationen berücksichtigt wurden. Die Posterior-Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Prior-Wahrscheinlichkeit unter Verwendung des Satzes von Bayes aktualisiert wird. Statistisch gesehen ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn Ereignis B eingetreten ist.

Besondere Überlegungen

Der Satz von Bayes gibt somit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an, basierend auf neuen Informationen, die mit diesem Ereignis in Zusammenhang stehen oder stehen können. Die Formel kann auch verwendet werden, um zu bestimmen, wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses durch hypothetische neue Informationen beeinflusst werden kann, vorausgesetzt, die neuen Informationen werden sich als wahr erweisen.

Ziehe zum Beispiel in Betracht, eine einzelne Karte aus einem kompletten Deck mit 52 Karten zu ziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein König ist, ist vier geteilt durch 52, was 1/13 oder ungefähr 7,69 % entspricht. Denken Sie daran, dass es vier Könige im Deck gibt. Nehmen wir nun an, es wird aufgedeckt, dass die ausgewählte Karte eine Bildkarte ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Karte ein König ist, wenn es sich um eine Bildkarte handelt, beträgt vier geteilt durch 12 oder ungefähr 33,3 %, da ein Deck 12 Bildkarten enthält.

Formel für den Satz von Bayes

$\begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right )}\ &\textbf\ &P\left(A\right)=\text{ Die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt}\ &P\left(B\right)=\text\ &P\left(A|B\right)=\text\ &P\left(B|A\right)=\text\ &P\left(A\bigcap\right))=\text{ Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B auftreten}\ \end$

Beispiele für den Satz von Bayes

Unten sind zwei Beispiele für das Theorem von Bayes, wobei das erste Beispiel zeigt, wie die Formel in einem Aktienanlagebeispiel unter Verwendung von Amazon.com Inc. (AMZN) abgeleitet werden kann. Das zweite Beispiel wendet das Theorem von Bayes auf Arzneimitteltests an.

Ableitung der Formel des Satzes von Bayes

Der Satz von Bayes folgt einfach aus den Axiomen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis eingetreten ist. Eine einfache Wahrscheinlichkeitsfrage könnte beispielsweise lauten: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs von Amazon.com fällt?“ Die bedingte Wahrscheinlichkeit geht mit dieser Frage noch einen Schritt weiter, indem sie fragt: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Aktienkurs fällt, wenn man davon ausgeht, dass der Dow Jones Industrial Average (DJIA)-Index früher gefallen ist?“

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist, kann ausgedrückt werden als:

Wenn A ist: "AMZN-Preis fällt", dann ist P(AMZN) die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN fällt; und B ist: "DJIA ist bereits ausgefallen", und P(DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der DJIA gefallen ist; dann lautet der bedingte Wahrscheinlichkeitsausdruck wie folgt: „Die Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN bei einem DJIA-Rückgang fällt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Preis fällt und der DJIA fällt, über der Wahrscheinlichkeit eines Rückgangs des DJIA-Index.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN und DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN und DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B auftreten. Dies ist auch dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, vorausgesetzt, dass A eintritt, ausgedrückt als P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Die Tatsache, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind, führt zum Satz von Bayes, der wie folgt geschrieben wird:

wenn, P(AMZN und DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

dann P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Wobei P(AMZN) und P(DJIA) die Wahrscheinlichkeiten sind, dass Amazon und der Dow Jones fallen, ohne Rücksicht aufeinander.

Die Formel erklärt die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit der Hypothese, bevor die Beweise P(AMZN) gesehen werden, und der Wahrscheinlichkeit der Hypothese, nachdem die Beweise P(AMZN|DJIA) erhalten wurden, bei einer Hypothese für Amazon, die Beweise im Dow gegeben hat.

Numerisches Beispiel für den Satz von Bayes

Stellen Sie sich als Zahlenbeispiel vor, dass es einen Drogentest gibt, der zu 98 % genau ist, was bedeutet, dass er in 98 % der Fälle ein wirklich positives Ergebnis für jemanden zeigt, der die Droge verwendet, und in 98 % der Fälle ein wirklich negatives Ergebnis für Nichtkonsumenten der Droge.

Nehmen Sie als nächstes an, dass 0,5 % der Menschen das Medikament verwenden. Wenn eine zufällig ausgewählte Person positiv auf das Medikament getestet wird, kann die folgende Berechnung durchgeführt werden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass die Person tatsächlich ein Konsument des Medikaments ist.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76 %

Das Theorem von Bayes zeigt, dass selbst wenn eine Person in diesem Szenario positiv getestet wurde, eine Wahrscheinlichkeit von etwa 80 % besteht, dass die Person das Medikament nicht einnimmt.

Häufig gestellte Fragen.

Das Endergebnis

In seiner einfachsten Form nimmt der Satz von Bayes ein Testergebnis und bezieht es auf die bedingte Wahrscheinlichkeit dieses Testergebnisses bei anderen verwandten Ereignissen. Für Fehlalarme mit hoher Wahrscheinlichkeit liefert das Theorem eine begründetere Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis.

Höhepunkte

• Theorem von Bayes ermöglicht es Ihnen, die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses zu aktualisieren, indem Sie neue Informationen einbeziehen.

• Es wird häufig im Finanzbereich zur Berechnung oder Aktualisierung der Risikobewertung eingesetzt.

• Das Theorem ist zu einem nützlichen Element bei der Implementierung des maschinellen Lernens geworden.

• Der Satz von Bayes wurde nach dem Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert benannt.

• Das Theorem wurde zwei Jahrhunderte lang nicht verwendet, da zur Ausführung seiner Transaktionen ein hohes Volumen an Rechenkapazität erforderlich war.

FAQ

Was ist ein Theorem-Rechner von Bayes?

Ein Theorem-Rechner von Bayes berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bedingt durch ein anderes Ereignis B, wenn die vorherigen Wahrscheinlichkeiten von A und B und die Wahrscheinlichkeit von **B gegeben sind ** abhängig von A. Es berechnet bedingte Wahrscheinlichkeiten basierend auf bekannten Wahrscheinlichkeiten.

Was ist die Geschichte des Satzes von Bayes?

Der Satz wurde in den Papieren des englischen presbyterianischen Ministers und Mathematikers Thomas Bayes entdeckt und posthum veröffentlicht, indem er 1763 der Royal Society vorgelesen wurde. Der Satz von Bayes, der lange zugunsten der Booleschen Berechnungen ignoriert wurde, ist in letzter Zeit aufgrund der erhöhten Rechenkapazität populärer geworden für die Durchführung seiner komplexen Berechnungen. Diese Fortschritte haben zu einer Zunahme von Anwendungen geführt, die das Theorem von Bayes verwenden. Es wird jetzt auf eine Vielzahl von Wahrscheinlichkeitsberechnungen angewendet, einschließlich Finanzberechnungen, Genetik, Drogenkonsum und Krankheitsbekämpfung.

Was besagt der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes besagt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, basierend auf dem Eintreten eines anderen Ereignisses, gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses bei gegebenem ersten Ereignis multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses ist.

Wie wird der Satz von Bayes beim maschinellen Lernen verwendet?

Das Bayes-Theorem bietet eine nützliche Methode, um über die Beziehung zwischen einem Datensatz und einer Wahrscheinlichkeit nachzudenken. Mit anderen Worten, das Theorem besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Hypothese wahr ist, basierend auf bestimmten beobachteten Daten, angegeben werden kann als das Finden der Wahrscheinlichkeit, die Daten zu beobachten, wenn die Hypothese gegeben ist, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese unabhängig von den Daten wahr ist, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit, die Daten unabhängig von der Hypothese zu beobachten.

Was wird im Satz von Bayes berechnet?

Der Satz von Bayes berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf den Werten spezifischer verwandter bekannter Wahrscheinlichkeiten.