Bayes' Sats

Vad är Bayes sats?

Bayes' sats, uppkallad efter den brittiska matematikern Thomas Bayes från 1700-talet, är en matematisk formel för att bestämma villkorlig sannolikhet. Betingad sannolikhet är sannolikheten för att ett utfall inträffar, baserat på att ett tidigare utfall har inträffat under liknande omständigheter. Bayes teorem ger ett sätt att revidera befintliga förutsägelser eller teorier (uppdateringssannolikheter) givet nya eller ytterligare bevis.

Inom finans kan Bayes sats användas för att bedöma risken med att låna ut pengar till potentiella låntagare. Satsen kallas även Bayes regel eller Bayes lag och är grunden för området för Bayesiansk statistik.

Förstå Bayes sats

Tillämpningar av Bayes' teorem är utbredda och inte begränsade till det finansiella området. Till exempel kan Bayes sats användas för att bestämma noggrannheten av medicinska testresultat genom att ta hänsyn till hur sannolikt en given person är att ha en sjukdom och testets allmänna noggrannhet. Bayes teorem bygger på att införliva tidigare sannolikhetsfördelningar för att generera posteriora sannolikheter.

Tidigare sannolikhet, i Bayesiansk statistisk slutledning, är sannolikheten för att en händelse inträffar innan ny data samlas in. Det representerar med andra ord den bästa rationella bedömningen av sannolikheten för ett visst utfall baserat på nuvarande kunskap innan ett experiment utförs.

Posterior sannolikhet är den reviderade sannolikheten för att en händelse inträffar efter att ha tagit hänsyn till den nya informationen. Posterior sannolikhet beräknas genom att uppdatera den tidigare sannolikheten med Bayes sats. I statistiska termer är den bakre sannolikheten sannolikheten för att händelse A inträffar givet att händelse B har inträffat.

Särskilda överväganden

Bayes sats ger alltså sannolikheten för en händelse baserat på ny information som är, eller kan vara, relaterad till den händelsen. Formeln kan också användas för att bestämma hur sannolikheten för att en händelse inträffar kan påverkas av hypotetisk ny information, förutsatt att den nya informationen kommer att visa sig vara sann.

Överväg till exempel att dra ett enda kort från en komplett kortlek med 52 kort.

Sannolikheten att kortet är en kung är fyra dividerat med 52, vilket motsvarar 1/13 eller ungefär 7,69%. Kom ihåg att det finns fyra kungar i kortleken. Anta nu att det avslöjas att det valda kortet är ett klätt kort. Sannolikheten att det valda kortet är en kung, givet att det är ett klätt kort, är fyra dividerat med 12, eller cirka 33,3 %, eftersom det finns 12 klädda kort i en kortlek.

Formel för Bayes sats

$\begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right) )}\ &\textbf{där:}\ &P\left(A\right)=\text{ Sannolikheten att A inträffar}\ &P\left(B\right)=\text{ Sannolikheten för att B inträffar}\ &P\left(A|B\right)=\text{Sannolikheten för A given B}\ &P\left(B|A\right)=\text{ sannolikhet för B givet A}\ &P\left(A\bigcap\right))=\text{ Sannolikheten för att både A och B inträffar}\ \end$

Exempel på Bayes sats

Nedan finns två exempel på Bayes' teorem där det första exemplet visar hur formeln kan härledas i ett aktieinvesteringsexempel med Amazon.com Inc. (AMZN). Det andra exemplet tillämpar Bayes teorem på läkemedelstestning.

Härledning av Bayes satsformel

Bayes sats följer helt enkelt av axiomen för betingad sannolikhet. Villkorlig sannolikhet är sannolikheten för en händelse givet att en annan händelse inträffade. Till exempel kan en enkel sannolikhetsfråga fråga sig: "Vad är sannolikheten för att Amazon.coms aktiekurs faller?" Villkorlig sannolikhet tar denna fråga ett steg längre genom att fråga: "Vad är sannolikheten för att AMZN-aktien faller med tanke på att Dow Jones Industrial Average (DJIA)-index föll tidigare?"

Den villkorade sannolikheten för A givet att B har hänt kan uttryckas som:

Om A är: "AMZN-priset faller" så är P(AMZN) sannolikheten att AMZN faller; och B är: "DJIA är redan nere" och P(DJIA) är sannolikheten att DJIA föll; då läses det villkorade sannolikhetsuttrycket som "sannolikheten att AMZN sjunker givet en DJIA-nedgång är lika med sannolikheten att AMZN-priset sjunker och DJIA sjunker över sannolikheten för en minskning av DJIA-indexet.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN och DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN och DJIA) är sannolikheten för att både A och B inträffar. Detta är också detsamma som sannolikheten för att A inträffar multiplicerat med sannolikheten att B inträffar givet att A inträffar, uttryckt som P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Det faktum att dessa två uttryck är lika leder till Bayes sats, som är skriven som:

om, P(AMZN och DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

sedan, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Där P(AMZN) och P(DJIA) är sannolikheten för att Amazon och Dow Jones faller, utan hänsyn till varandra.

Formeln förklarar sambandet mellan sannolikheten för hypotesen innan man ser bevisen för att P(AMZN), och sannolikheten för hypotesen efter att ha fått bevisen P(AMZN|DJIA), givet en hypotes för Amazon som ges bevis i Dow.

Numeriskt exempel på Bayes sats

Som ett numeriskt exempel, tänk dig att det finns ett drogtest som är 98% korrekt, vilket betyder att det 98% av tiden visar ett sant positivt resultat för någon som använder drogen, och 98% av gångerna visar det ett sant negativt resultat för icke-användare av drogen.

Antag sedan att 0,5 % av människor använder drogen. Om en slumpmässigt utvald person testar positivt för drogen, kan följande beräkning göras för att fastställa sannolikheten för att personen faktiskt är en användare av drogen.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76 %

Bayes sats visar att även om en person testade positivt i detta scenario, finns det en ungefär 80 % chans att personen inte tar drogen.

Vanliga frågor.

Poängen

Som enklast tar Bayes sats ett testresultat och relaterar det till den villkorade sannolikheten för det testresultatet givet andra relaterade händelser. För falska positiva sannolikheter ger satsen en mer motiverad sannolikhet för ett visst utfall.

##Höjdpunkter

• Bayes' sats låter dig uppdatera de förutsagda sannolikheterna för en händelse genom att införliva ny information.

– Det används ofta inom finans för att beräkna eller uppdatera riskvärdering.

– Teoremet har blivit ett användbart inslag i implementeringen av maskininlärning.

– Bayes sats fick sitt namn efter 1700-talsmatematikern Thomas Bayes.

• Satsen var oanvänd i två århundraden på grund av den höga volymen av beräkningskapacitet som krävdes för att utföra dess transaktioner.

##FAQ

Vad är en Bayes satskalkylator?

En Bayes' satskalkylator räknar ut sannolikheten för en händelse A villkorad av en annan händelse B, givet de tidigare sannolikheterna för A och B, och sannolikheten för **B ** villkorat av A. Den beräknar villkorade sannolikheter baserat på kända sannolikheter.

Vad är historien om Bayes sats?

Teoremet upptäcktes bland den engelske presbyterianske ministern och matematikern Thomas Bayes tidningar och publicerades postumt genom att läsas upp för Royal Society 1763. Bayes' sats har länge ignorerats till förmån för booleska beräkningar och har nyligen blivit mer populär på grund av ökad beräkningskapacitet för att utföra sina komplexa beräkningar. Dessa framsteg har lett till en ökning av tillämpningar som använder Bayes teorem. Det tillämpas nu på en mängd olika sannolikhetsberäkningar, inklusive ekonomiska beräkningar, genetik, droganvändning och sjukdomskontroll.

Vad säger Bayes sats?

Bayes sats säger att den villkorade sannolikheten för en händelse, baserat på förekomsten av en annan händelse, är lika med sannolikheten för den andra händelsen givet den första händelsen multiplicerad med sannolikheten för den första händelsen.

Hur används Bayes sats i maskininlärning?

Bayes sats ger en användbar metod för att tänka på sambandet mellan en datamängd och en sannolikhet. Med andra ord säger satsen att sannolikheten för att en given hypotes är sann baserat på specifik observerad data kan anges som att hitta sannolikheten för att observera data givet hypotesen multiplicerat med sannolikheten för att hypotesen är sann oavsett data, dividerat genom sannolikheten att observera data oavsett hypotesen.

Vad beräknas i Bayes sats?

Bayes sats beräknar den villkorade sannolikheten för en händelse, baserat på värdena för specifika relaterade kända sannolikheter.