Bayes' Teorema
Che cos'è il teorema di Bayes?
Il teorema di Bayes, dal nome del matematico britannico del XVIII secolo Thomas Bayes, è una formula matematica per determinare la probabilità condizionale. La probabilità condizionata è la probabilità che si verifichi un risultato, basato sul fatto che un risultato precedente si è verificato in circostanze simili. Il teorema di Bayes fornisce un modo per rivedere le previsioni o le teorie esistenti (aggiornare le probabilità) date nuove o ulteriori prove.
In finanza, il teorema di Bayes può essere utilizzato per valutare il rischio di prestare denaro a potenziali mutuatari. Il teorema è anche chiamato regola di Bayes o legge di Bayes ed è il fondamento del campo della statistica bayesiana.
Capire il teorema di Bayes
Le applicazioni del teorema di Bayes sono diffuse e non limitate al regno finanziario. Ad esempio, il teorema di Bayes può essere utilizzato per determinare l'accuratezza dei risultati dei test medici prendendo in considerazione la probabilità che una determinata persona abbia una malattia e l'accuratezza generale del test. Il teorema di Bayes si basa sull'incorporazione di distribuzioni di probabilità a priori per generare probabilità a posteriori.
La probabilità a priori, nell'inferenza statistica bayesiana, è la probabilità che un evento si verifichi prima della raccolta di nuovi dati. In altre parole, rappresenta la migliore valutazione razionale della probabilità di un particolare risultato sulla base delle conoscenze attuali prima che venga eseguito un esperimento.
La probabilità a posteriori è la probabilità rivista che un evento si verifichi dopo aver preso in considerazione le nuove informazioni. La probabilità a posteriori viene calcolata aggiornando la probabilità a priori utilizzando il teorema di Bayes. In termini statistici, la probabilità a posteriori è la probabilità che si verifichi l'evento A dato che si è verificato l'evento B.
Considerazioni speciali
Il teorema di Bayes fornisce quindi la probabilità di un evento basato su nuove informazioni che sono, o potrebbero essere, correlate a quell'evento. La formula può essere utilizzata anche per determinare in che modo la probabilità che si verifichi un evento possa essere influenzata da ipotetiche nuove informazioni, supponendo che le nuove informazioni si rivelino vere.
Ad esempio, considera di pescare una singola carta da un mazzo completo di 52 carte.
La probabilità che la carta sia un re è quattro divisa per 52, che equivale a 1/13 o circa 7,69%. Ricorda che ci sono quattro re nel mazzo. Supponiamo ora che venga rivelato che la carta selezionata è una figura. La probabilità che la carta selezionata sia un re, dato che è una figura, è quattro divisa per 12, ovvero circa il 33,3%, poiché ci sono 12 figure in un mazzo.
Formula per il teorema di Bayes
Esempi del teorema di Bayes
Di seguito sono riportati due esempi del teorema di Bayes in cui il primo esempio mostra come la formula può essere derivata in un esempio di investimento azionario utilizzando Amazon.com Inc. (AMZN). Il secondo esempio applica il teorema di Bayes ai test sui farmaci.
Derivazione della formula del teorema di Bayes
Il teorema di Bayes segue semplicemente dagli assiomi della probabilità condizionata. La probabilità condizionata è la probabilità di un evento dato che si è verificato un altro evento. Ad esempio, una semplice domanda di probabilità potrebbe chiedere: "Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni di Amazon.com scenda?" La probabilità condizionata fa un ulteriore passo avanti a questa domanda chiedendosi: "Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni AMZN scenda dato che l' indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) è sceso prima?"
La probabilità condizionata di A dato che B è accaduto può essere espressa come:
Se A è: "Il prezzo dell'AMZN scende", allora P(AMZN) è la probabilità che l'AMZN scenda; e B è: "DJIA è già in calo" e P(DJIA) è la probabilità che il DJIA sia caduto; quindi l'espressione di probabilità condizionale si legge come "la probabilità che AMZN diminuisca dato un calo del DJIA è uguale alla probabilità che il prezzo dell'AMZN diminuisca e il DJIA diminuisca rispetto alla probabilità di una diminuzione dell'indice DJIA.
P(AMZN|DJIA) = P(AMZN e DJIA) / P(DJIA)
P(AMZN e DJIA) è la probabilità che si verifichino entrambi A e B. Questa è anche la stessa probabilità che si verifichi A moltiplicata per la probabilità che si verifichi B dato che si verifica A, espressa come P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Il fatto che queste due espressioni siano uguali porta al teorema di Bayes, che è scritto come:
se, P(AMZN e DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)
quindi, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).
Dove P(AMZN) e P(DJIA) sono le probabilità che Amazon e il Dow Jones cadano, indipendentemente l'uno dall'altro.
La formula spiega la relazione tra la probabilità dell'ipotesi prima di vedere l'evidenza che P(AMZN) e la probabilità dell'ipotesi dopo aver ottenuto l'evidenza P(AMZN|DJIA), data un'ipotesi per Amazon fornita da Dow.
Esempio numerico del teorema di Bayes
Come esempio numerico, immagina che ci sia un test antidroga accurato al 98%, il che significa che il 98% delle volte mostra un risultato veramente positivo per qualcuno che usa il farmaco e il 98% delle volte mostra un risultato veramente negativo per i non utilizzatori del farmaco.
Quindi, supponi che lo 0,5% delle persone usi il farmaco. Se una persona selezionata a caso risulta positiva al farmaco, è possibile effettuare il seguente calcolo per determinare la probabilità che la persona sia effettivamente un consumatore del farmaco.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Il teorema di Bayes mostra che anche se una persona è risultata positiva in questo scenario, c'è una probabilità dell'80% circa che la persona non assuma il farmaco.
Domande frequenti.
La linea di fondo
Nella sua forma più semplice, il teorema di Bayes prende un risultato del test e lo mette in relazione con la probabilità condizionata di quel risultato del test dati altri eventi correlati. Per i falsi positivi ad alta probabilità, il teorema fornisce una probabilità più ragionata di un particolare risultato.
Mette in risalto
Il teorema di Bayes consente di aggiornare le probabilità previste di un evento incorporando nuove informazioni.
Viene spesso impiegato in finanza per calcolare o aggiornare la valutazione del rischio.
Il teorema è diventato un elemento utile nell'implementazione del machine learning.
Il teorema di Bayes prende il nome dal matematico del 18° secolo Thomas Bayes.
Il teorema è rimasto inutilizzato per due secoli a causa dell'elevata capacità di calcolo richiesta per eseguire le sue transazioni.
FAQ
Che cos'è un calcolatore del teorema di Bayes?
Un calcolatore del teorema di Bayes calcola la probabilità di un evento A condizionato a un altro evento B, date le probabilità a priori di A e B e la probabilità di **B ** condizionale A. Calcola le probabilità condizionali sulla base di probabilità note.
Qual è la storia del teorema di Bayes?
Il teorema è stato scoperto tra le carte del ministro presbiteriano e matematico inglese Thomas Bayes e pubblicato postumo dopo essere stato letto alla Royal Society nel 1763. A lungo ignorato a favore dei calcoli booleani, il teorema di Bayes è recentemente diventato più popolare grazie alla maggiore capacità di calcolo per l'esecuzione dei suoi calcoli complessi. Questi progressi hanno portato ad un aumento delle applicazioni che utilizzano il teorema di Bayes. Ora è applicato a un'ampia varietà di calcoli di probabilità, inclusi calcoli finanziari, genetica, uso di droghe e controllo delle malattie.
Cosa afferma il teorema di Bayes?
Il teorema di Bayes afferma che la probabilità condizionata di un evento, basata sul verificarsi di un altro evento, è uguale alla probabilità del secondo evento dato il primo evento moltiplicato per la probabilità del primo evento.
Come viene utilizzato il teorema di Bayes nell'apprendimento automatico?
Il teorema di Bayes fornisce un metodo utile per pensare alla relazione tra un insieme di dati e una probabilità. In altre parole, il teorema dice che la probabilità che una data ipotesi sia vera sulla base di specifici dati osservati può essere affermata come trovare la probabilità di osservare i dati data l'ipotesi moltiplicata per la probabilità che l'ipotesi sia vera indipendentemente dai dati, divisa dalla probabilità di osservare i dati indipendentemente dall'ipotesi.
Cosa viene calcolato nel teorema di Bayes?
Il teorema di Bayes calcola la probabilità condizionata di un evento, sulla base dei valori di specifiche probabilità note correlate.
