Bayes' Sætning

Hvad er Bayes' sætning?

Bayes' sætning, opkaldt efter den britiske matematiker Thomas Bayes fra det 18. århundrede, er en matematisk formel til bestemmelse af betinget sandsynlighed. Betinget sandsynlighed er sandsynligheden for, at et udfald indtræffer, baseret på et tidligere udfald, der er indtruffet under lignende omstændigheder. Bayes' teorem giver en måde at revidere eksisterende forudsigelser eller teorier (opdateringssandsynligheder) givet nye eller yderligere beviser.

Inden for finans kan Bayes' Teorem bruges til at vurdere risikoen ved at låne penge til potentielle låntagere. Sætningen kaldes også Bayes' regel eller Bayes' lov og er grundlaget for området for Bayesiansk statistik.

Forstå Bayes' sætning

Anvendelser af Bayes' Teorem er udbredte og ikke begrænset til det finansielle område. For eksempel kan Bayes' teorem bruges til at bestemme nøjagtigheden af medicinske testresultater ved at tage hensyn til, hvor sandsynligt en given person er for at have en sygdom og den generelle nøjagtighed af testen. Bayes' sætning bygger på at inkorporere tidligere sandsynlighedsfordelinger for at generere posteriore sandsynligheder.

Forudgående sandsynlighed, i Bayesiansk statistisk inferens, er sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, før nye data indsamles. Med andre ord repræsenterer det den bedste rationelle vurdering af sandsynligheden for et bestemt udfald baseret på nuværende viden, før et eksperiment udføres.

Posterior sandsynlighed er den reviderede sandsynlighed for, at en begivenhed indtræffer efter at have taget de nye oplysninger i betragtning. Posterior sandsynlighed beregnes ved at opdatere den forudgående sandsynlighed ved hjælp af Bayes' sætning. I statistiske termer er den bageste sandsynlighed sandsynligheden for, at begivenhed A indtræffer, givet at begivenhed B er indtruffet.

Særlige overvejelser

Bayes' sætning giver således sandsynligheden for en begivenhed baseret på ny information, der er eller kan være relateret til den begivenhed. Formlen kan også bruges til at bestemme, hvordan sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, kan blive påvirket af hypotetisk ny information, forudsat at den nye information vil vise sig at være sand.

Overvej for eksempel at trække et enkelt kort fra et komplet sæt med 52 kort.

Sandsynligheden for at kortet er en konge er fire divideret med 52, hvilket svarer til 1/13 eller cirka 7,69%. Husk, at der er fire konger i bunken. Antag nu, at det afsløres, at det valgte kort er et billedkort. Sandsynligheden for, at det valgte kort er en konge, givet at det er et billedkort, er fire divideret med 12, eller cirka 33,3 %, da der er 12 billedkort i et spil.

Formel for Bayes' sætning

$\begin &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right) )}\ &\textbf\ &P\left(A\right)=\text{ Sandsynligheden for, at A forekommer}\ &P\left(B\right)=\text\ &P\left(A|B\right)=\text\ &P\left(B|A\right)=\text\ &P\left(A\bigcap\right))=\text{ Sandsynligheden for, at både A og B forekommer}\ \end$

Eksempler på Bayes' sætning

Nedenfor er to eksempler på Bayes' sætning, hvor det første eksempel viser, hvordan formlen kan udledes i et aktieinvesteringseksempel ved hjælp af Amazon.com Inc. (AMZN). Det andet eksempel anvender Bayes' teorem til farmaceutiske lægemiddeltests.

Udledning af Bayes' sætningsformel

Bayes' sætning følger simpelthen af aksiomer for betinget sandsynlighed. Betinget sandsynlighed er sandsynligheden for en begivenhed givet, at en anden begivenhed fandt sted. For eksempel kan et simpelt sandsynlighedsspørgsmål spørge: "Hvad er sandsynligheden for, at Amazon.coms aktiekurs falder?" Betinget sandsynlighed tager dette spørgsmål et skridt videre ved at spørge: "Hvad er sandsynligheden for, at AMZN-aktiekursen falder i betragtning af, at Dow Jones Industrial Average (DJIA)-indekset faldt tidligere?"

Den betingede sandsynlighed for A givet, at B er sket, kan udtrykkes som:

Hvis A er: "AMZN-prisen falder", så er P(AMZN) sandsynligheden for, at AMZN falder; og B er: "DJIA er allerede nede," og P(DJIA) er sandsynligheden for, at DJIA faldt; så lyder det betingede sandsynlighedsudtryk som "sandsynligheden for, at AMZN falder givet et DJIA-fald, er lig med sandsynligheden for, at AMZN-prisen falder, og DJIA falder over sandsynligheden for et fald i DJIA-indekset.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN og DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN og DJIA) er sandsynligheden for, at både A og B forekommer. Dette er også det samme som sandsynligheden for, at A forekommer ganget med sandsynligheden for, at B forekommer givet, at A forekommer, udtrykt som P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Det faktum, at disse to udtryk er ens, fører til Bayes' sætning, som er skrevet som:

hvis, P(AMZN og DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

derefter, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Hvor P(AMZN) og P(DJIA) er sandsynligheden for, at Amazon og Dow Jones falder, uden hensyn til hinanden.

Formlen forklarer forholdet mellem sandsynligheden for hypotesen, før man ser beviset for, at P(AMZN), og sandsynligheden for hypotesen efter at have fået beviset P(AMZN|DJIA), givet en hypotese for Amazon givet bevis i Dow.

Numerisk eksempel på Bayes' sætning

Som et numerisk eksempel, forestil dig, at der er en stoftest, der er 98 % nøjagtig, hvilket betyder, at den 98 % af tiden viser et sandt positivt resultat for en person, der bruger stoffet, og 98 % af gangene viser det et sandt negativt resultat for ikke-brugere af lægemidlet.

Antag dernæst, at 0,5 % af mennesker bruger stoffet. Hvis en tilfældigt udvalgt person tester positiv for stoffet, kan følgende beregning foretages for at bestemme sandsynligheden for, at personen faktisk er en bruger af stoffet.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76 %

Bayes' sætning viser, at selvom en person testede positiv i dette scenarie, er der en chance for omkring 80%, at personen ikke tager stoffet.

Ofte stillede spørgsmål.

Bundlinjen

På det enkleste tager Bayes' sætning et testresultat og relaterer det til den betingede sandsynlighed for det testresultat givet andre relaterede hændelser. For falske positiver med høj sandsynlighed giver teoremet en mere begrundet sandsynlighed for et bestemt udfald.

##Højdepunkter

• Bayes' sætning giver dig mulighed for at opdatere de forudsagte sandsynligheder for en begivenhed ved at inkorporere ny information.

• Det bruges ofte inden for økonomi til at beregne eller opdatere risikovurdering.

• Sætningen er blevet et nyttigt element i implementeringen af machine learning.

• Bayes' sætning blev opkaldt efter matematikeren Thomas Bayes fra det 18. århundrede.

• Sætningen var ubrugt i to århundreder på grund af den høje mængde beregningskapacitet, der kræves for at udføre dens transaktioner.

##Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en Bayes' Teorem Lommeregner?

En Bayes' sætningsberegner beregner sandsynligheden for en hændelse A betinget af en anden hændelse B givet de forudgående sandsynligheder for A og B og sandsynligheden for **B ** betinget af A. Den beregner betingede sandsynligheder baseret på kendte sandsynligheder.

Hvad er historien om Bayes' sætning?

Sætningen blev opdaget blandt den engelske presbyterianske minister og matematiker Thomas Bayes artikler og udgivet posthumt ved at blive læst for Royal Society i 1763. Bayes' sætning er længe blevet ignoreret til fordel for booleske beregninger og er for nylig blevet mere populær på grund af øget beregningskapacitet for at udføre dens komplekse beregninger. Disse fremskridt har ført til en stigning i applikationer ved hjælp af Bayes' sætning. Det anvendes nu til en lang række sandsynlighedsberegninger, herunder økonomiske beregninger, genetik, stofbrug og sygdomsbekæmpelse.

Hvad siger Bayes' sætning?

Bayes' sætning siger, at den betingede sandsynlighed for en begivenhed, baseret på forekomsten af en anden begivenhed, er lig med sandsynligheden for den anden begivenhed givet den første begivenhed ganget med sandsynligheden for den første begivenhed.

Hvordan bruges Bayes' sætning i maskinlæring?

Bayes sætning giver en nyttig metode til at tænke på forholdet mellem et datasæt og en sandsynlighed. Med andre ord siger sætningen, at sandsynligheden for, at en given hypotese er sand baseret på specifikke observerede data, kan angives som at finde sandsynligheden for at observere dataene givet hypotesen ganget med sandsynligheden for, at hypotesen er sand uanset dataene, divideret ved sandsynligheden for at observere dataene uanset hypotesen.

Hvad beregnes i Bayes' sætning?

Bayes' sætning beregner den betingede sandsynlighed for en begivenhed, baseret på værdierne af specifikke relaterede kendte sandsynligheder.