علاقة خطية

ما هي العلاقة الخطية؟

العلاقة الخطية (أو الارتباط الخطي) هي مصطلح إحصائي يستخدم لوصف علاقة خط مستقيم بين متغيرين. يمكن التعبير عن العلاقات الخطية إما بتنسيق رسومي حيث يرتبط المتغير والثابت بخط مستقيم أو بتنسيق رياضي حيث يتم ضرب المتغير المستقل بمعامل الميل ، مضافًا إليه ثابت ، والذي يحدد المتغير التابع.

يمكن أن تتناقض العلاقة الخطية مع علاقة متعددة الحدود أو غير خطية (منحنية).

المعادلة الخطية هي:

رياضيا ، العلاقة الخطية هي التي تحقق المعادلة:

$\ begin & amp؛ y = mx + b \ & amp؛ \ textbf {حيث:} \ & amp؛ m = \ text {المنحدر } \ & amp؛ b = \ text \ \ end$

في هذه المعادلة ، "x" و "y" متغيران مرتبطان بالمعلمات "m" و "b". بيانياً ، y = mx + b مؤامرات في المستوى xy كخط بميل "م" وتقاطع ص "ب". تقاطع y "b" هو ببساطة قيمة "y" عندما تكون x = 0. يتم حساب الميل "م" من أي نقطتين منفصلتين (س ~ 1 ~ ، ص ~ 1 ~) و (س ~ 2 ~ ، ص ~ 2 ~) على النحو التالي:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <تشفير التعليقات التوضيحية = "application / x-tex"> m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ = ( x 2 - x 1 ) ( y 2 - y 1 )

ماذا تخبرك العلاقة الخطية؟

هناك ثلاث مجموعات من المعايير الضرورية التي يجب أن تلبيها المعادلة من أجل التأهل كمعاملة خطية: لا يمكن أن تتكون المعادلة التي تعبر عن علاقة خطية من أكثر من متغيرين ، يجب أن تكون جميع المتغيرات في المعادلة للقوة الأولى ، ويجب أن يتم رسم المعادلة كخط مستقيم.

العلاقة الخطية شائعة الاستخدام هي الارتباط ، الذي يصف مدى الاقتراب من الموضة الخطية التي يتغير فيها متغير واحد فيما يتعلق بالتغييرات في متغير آخر.

في الاقتصاد القياسي ، يعد الانحدار الخطي طريقة مستخدمة غالبًا لتوليد علاقات خطية لشرح الظواهر المختلفة. يتم استخدامه بشكل شائع في استقراء الأحداث من الماضي لعمل تنبؤات للمستقبل. ومع ذلك ، ليست كل العلاقات خطية. تصف بعض البيانات العلاقات المنحنية (مثل العلاقات متعددة الحدود) بينما لا تزال البيانات الأخرى لا يمكن تحديد معلماتها.

وظائف خطية

يشبه مفهوم العلاقة الخطية من الناحية الرياضية مفهوم الوظيفة الخطية. في متغير واحد ، يمكن كتابة دالة خطية على النحو التالي:

$start & amp؛ f (x) = mx + b \ & amp؛ \ textbf {حيث:} \ & amp؛ m = \ text {المنحدر} \ & amp؛ b = \ text \ \ end </ تعليق توضيحي>$

هذا مطابق للصيغة المحددة للعلاقة الخطية فيما عدا أن الرمز f (x) يُستخدم بدلاً من ** y. ** تم إجراء هذا الاستبدال لإبراز المعنى الذي تم تعيينه لـ x إلى f (x) ، في حين أن يشير استخدام ** y ** ببساطة إلى أن x و y كميتان مرتبطتان بـ A و B.

في دراسة الجبر الخطي ، تمت دراسة خصائص الوظائف الخطية على نطاق واسع وجعلها صارمة. بالنظر إلى العددية C والمتجهين A و B من R ^ N ^ ، فإن التعريف الأكثر عمومية للدالة الخطية ينص على ما يلي: $c \times f <mo قابلة للتمدد = "false"> (A + B) = c \times f (A) + c \times f (B) <ترميز التعليقات التوضيحية =" application / x-tex "> c \ times f ( A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ c × f ( B )

أمثلة على العلاقات الخطية

مثال 1

العلاقات الخطية شائعة جدًا في الحياة اليومية. لنأخذ مفهوم السرعة على سبيل المثال. الصيغة التي نستخدمها لحساب السرعة هي كما يلي: معدل السرعة هو المسافة المقطوعة بمرور الوقت. إذا كان شخص ما في سيارة كرايسلر تاون آند كانتري بيضاء صغيرة عام 2007 يسافر بين ساكرامنتو ومريسفيل في كاليفورنيا ، على مسافة 41.3 ميلًا على الطريق السريع 99 ، وانتهت الرحلة الكاملة باستغرق 40 دقيقة ، فستسافر أقل من 60 ميلاً في الساعة .

بينما يوجد أكثر من متغيرين في هذه المعادلة ، فإنها لا تزال معادلة خطية لأن أحد المتغيرات سيكون دائمًا ثابتًا (مسافة).

مثال 2

يمكن أيضًا إيجاد علاقة خطية في المعادلة مسافة = المعدل × الوقت. نظرًا لأن المسافة رقم موجب (في معظم الحالات) ، فسيتم التعبير عن هذه العلاقة الخطية في الربع الأيمن العلوي من الرسم البياني بمحور X و Y.

إذا كانت دراجة مصنوعة لشخصين تسافر بمعدل 30 ميلاً في الساعة لمدة 20 ساعة ، سينتهي المتسابق بالسفر 600 ميل. يتم تمثيله بيانياً بالمسافة على المحور Y والوقت على المحور X ، حيث ينتقل الخط الذي يتتبع المسافة خلال تلك الـ 20 ساعة مباشرة من نقطة التقاء المحور X والمحور Y.

مثال 3

لتحويل الدرجة المئوية إلى فهرنهايت ، أو تحويل الفهرنهايت إلى درجة مئوية ، يمكنك استخدام المعادلات أدناه. تعبر هذه المعادلات عن علاقة خطية على الرسم البياني:

$\ degree C = \ frac {5} {9} (\ degree F - 32)$ - 3 2 )

$° F = \frac{9}{5} ° C + 32 <ترميز التعليقات التوضيحية = "application / x-tex" > \ degree F = \ frac {9} {5} \ degree C + 32$ + 3 2

مثال 4

افترض أن المتغير المستقل هو حجم المنزل (كما تم قياسه بالقدم المربع) والذي يحدد سعر السوق للمنزل (المتغير التابع) عندما يتم ضربه في معامل الميل 207.65 ثم يضاف إلى المصطلح الثابت 10500 دولار . إذا كانت المساحة المربعة للمنزل هي 1250 ، فإن القيمة السوقية للمنزل هي (1250 × 207.65) + 10500 دولار = 270،062.50 دولارًا. بيانيا ورياضيا يظهر كالتالي:

<! - 74EB3E9924E20D416C9CDAFE126064DB ->

في هذا المثال ، مع زيادة حجم المنزل ، تزداد القيمة السوقية للمنزل بطريقة خطية.

يمكن تسمية بعض العلاقات الخطية بين كائنين "علاقة تناسبية". تظهر هذه العلاقة على شكل

$start & amp؛ Y = k times X \ & amp ؛ \ textbf {حيث:} \ & amp؛ k = \ text {ثابت} \ & amp؛ Y، X = \ text \ \ end$

عند تحليل البيانات السلوكية ، نادرًا ما توجد علاقة خطية مثالية بين المتغيرات. ومع ذلك ، يمكن العثور على خطوط الاتجاه في البيانات التي تشكل نسخة تقريبية من العلاقة الخطية. على سبيل المثال ، يمكنك النظر إلى المبيعات اليومية للآيس كريم ودرجة الحرارة اليومية المرتفعة كمتغيرين في الرسم البياني وإيجاد علاقة خطية خام بين الاثنين.

يسلط الضوء

يمكن التعبير عن العلاقات الخطية إما بصيغة بيانية أو كمعادلة رياضية بالصيغة y = mx + b.
العلاقات الخطية شائعة إلى حد ما في الحياة اليومية.
العلاقة الخطية (أو الارتباط الخطي) هي مصطلح إحصائي يستخدم لوصف علاقة خط مستقيم بين متغيرين.