Línulegt samband

Hvað er línulegt samband?

Línulegt samband (eða línulegt samband) er tölfræðilegt hugtak sem notað er til að lýsa beinlínu sambandi milli tveggja breyta. Línuleg tengsl geta ýmist verið tjáð á myndrænu formi þar sem breytan og fastinn eru tengdir með beinni línu eða á stærðfræðilegu sniði þar sem óháða breytan er margfölduð með hallastuðlinum, bætt við fasta, sem ákvarðar háðu breytuna.

Línulegt samband getur verið andstæða við margliða eða ólínulegt (bogið) samband.

Línulega jafnan er:

Stærðfræðilega er línulegt samband það sem uppfyllir jöfnuna:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf{þar:}\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

Í þessari jöfnu eru „x“ og „y“ tvær breytur sem tengjast með breytunum „m“ og „b“. Myndrænt, y = mx + b teiknar upp í xy planinu sem línu með halla „m“ og y-skurði „b“. Y-skurðurinn „b“ er einfaldlega gildi „y“ þegar x=0. Hallinn „m“ er reiknaður út frá tveimur einstökum punktum (x₁, y₁) og (x₂, y₂) sem:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <merkingarkóðun ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Hvað segir línulegt samband þér?

Það eru þrjú sett af nauðsynlegum skilyrðum sem jöfnu þarf að uppfylla til að teljast línuleg: jafna sem tjáir línulegt samband getur ekki samanstandað af fleiri en tveimur breytum, allar breytur í jöfnu verða að vera í fyrsta veldi , og jöfnan verður að mynda línurit sem bein lína.

Algengt línulegt samband er fylgni,. sem lýsir því hversu nálægt línulegri tísku ein breyta breytist í tengslum við breytingar á annarri breytu.

Í hagfræði er línuleg aðhvarf oft notuð aðferð til að búa til línuleg tengsl til að útskýra ýmis fyrirbæri. Það er almennt notað til að framreikna atburði úr fortíðinni til að gera spár fyrir framtíðina. Hins vegar eru ekki öll tengsl línuleg. Sum gögn lýsa venslum sem eru bogin (svo sem margliðatengsl) á meðan ekki er hægt að stilla önnur gögn.

Línulegar aðgerðir

Stærðfræðilega svipað línulegu sambandi er hugmyndin um línulegt fall. Í einni breytu er hægt að skrifa línulegt fall sem hér segir:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf{þar:}\ &m=\text\ &b=\text{y-skurður}\ \end{jafnað annotation>$

Þetta er eins og gefin formúla fyrir línulegt samband nema að táknið f(x) er notað í stað y. Þessi skipting er gerð til að undirstrika merkingu þess að x er varpað á f(x), en notkun y gefur einfaldlega til kynna að x og y séu tvær stærðir, tengdar með A og B.

Í rannsóknum á línulegri algebru eru eiginleikar línulegra falla rannsakaðir mikið og gerðar strangar. Miðað við kvarða C og tvo vigur A og B frá R^N, segir almennasta skilgreiningin á línulegu falli að: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Dæmi um línuleg tengsl

Dæmi 1

Línuleg sambönd eru frekar algeng í daglegu lífi. Tökum hugtakið hraða sem dæmi. Formúlan sem við notum til að reikna út hraða er sem hér segir: hraðahraði er vegalengdin sem ekin er yfir tíma. Ef einhver á hvítum Chrysler Town and Country smábíl er á ferð á milli Sacramento og Marysville í Kaliforníu, 41,3 mílna leið á þjóðvegi 99, og ferðin endar á að taka 40 mínútur, mun hún hafa ferðast rétt undir 60 mph .

Þó að það séu fleiri en tvær breytur í þessari jöfnu, þá er það samt línuleg jöfnu vegna þess að ein af breytunum mun alltaf vera fasti (fjarlægð).

Dæmi 2

Línulegt samband má einnig finna í jöfnunni fjarlægð = hlutfall x tími. Vegna þess að fjarlægð er jákvæð tala (í flestum tilfellum) myndi þetta línulega samband vera gefið upp í efsta hægri fjórðungnum á línuriti með X og Y-ás.

Ef reiðhjól gert fyrir tvo var að ferðast á hraðanum 30 mílur á klukkustund í 20 klukkustundir, mun ökumaðurinn á endanum ferðast 600 mílur. Myndrænt táknað með fjarlægðinni á Y-ásnum og tímanum á X-ásnum, lína sem fylgir fjarlægðinni yfir þessar 20 klukkustundir myndi ferðast beint út frá samleitni X- og Y-ássins.

Dæmi 3

Til þess að breyta Celsíus í Fahrenheit, eða Fahrenheit í Celsíus, myndirðu nota jöfnurnar hér að neðan. Þessar jöfnur tjá línulegt samband á línuriti:

$\gráða C = \frac{5}{9}(\gráður F - 32)$

$\gráður F = \frac{9}{5}\gráður C + 32$

Dæmi 4

Gerum ráð fyrir að óháða breytan sé stærð húss (mælt með fermetrafjölda) sem ákvarðar markaðsverð húsnæðis (háða breytan) þegar hún er margfölduð með hallastuðlinum 207,65 og er síðan bætt við fastan tíma $10.500 . Ef fermetrafjöldi heimilis er 1.250 þá er markaðsvirði heimilisins (1.250 x 207,65) + $10.500 = $270.062,50. Myndrænt og stærðfræðilega lítur það út sem hér segir:

Í þessu dæmi, þegar stærð hússins eykst, eykst markaðsvirði hússins á línulegan hátt.

Sum línuleg tengsl milli tveggja hluta má kalla „hlutfallssamband“. Þetta samband birtist sem

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf{þar:}\ &k=\text\ &Y, X=\text{hlutfallsstærðir}\ \end$

Þegar hegðunargögn eru greind er sjaldan fullkomið línulegt samband milli breyta. Hins vegar má finna stefnulínur í gögnum sem mynda grófa útgáfu af línulegu sambandi. Til dæmis gætirðu litið á daglega sölu á ís og daglegan háhita sem tvær breytur sem spila á línuriti og fundið gróft línulegt samband þar á milli.

Hápunktar

Línuleg tengsl geta verið tjáð annað hvort á myndrænu formi eða sem stærðfræðilega jöfnu á forminu y = mx + b.
Línuleg tengsl eru nokkuð algeng í daglegu lífi.
Línulegt samband (eða línulegt samband) er tölfræðilegt hugtak sem notað er til að lýsa beinlínu sambandi milli tveggja breyta.