Lineaarinen suhde

Mikä on lineaarinen suhde?

Lineaarinen suhde (tai lineaarinen assosiaatio) on tilastollinen termi, jota käytetään kuvaamaan kahden muuttujan välistä suoraviivaista suhdetta. Lineaariset suhteet voidaan ilmaista joko graafisessa muodossa, jossa muuttuja ja vakio on yhdistetty suoralla viivalla, tai matemaattisessa muodossa, jossa riippumaton muuttuja kerrotaan kaltevuuskertoimella, johon lisätään vakio, joka määrittää riippuvan muuttujan.

Lineaarinen suhde voidaan verrata polynomiseen tai epälineaariseen (kaarevaan) suhteeseen.

Lineaarinen yhtälö on:

Matemaattisesti lineaarinen suhde täyttää yhtälön:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf\ &m=\teksti\ &b=\text\ \end$

Tässä yhtälössä "x" ja "y" ovat kaksi muuttujaa, jotka liittyvät toisiinsa parametreilla "m" ja "b". Graafisesti y = mx + b piirtää xy-tasoon suorana, jonka kaltevuus on "m" ja y-leikkauspiste "b". Y-leikkauspiste "b" on yksinkertaisesti "y":n arvo, kun x=0. Kaltevuus "m" lasketaan kahdesta yksittäisestä pisteestä (x₁, y₁) ja (x₂, y₂) seuraavasti:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <merkintöjen koodaus ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Mitä lineaarinen suhde kertoo?

On olemassa kolme joukkoa välttämättömiä kriteerejä, jotka yhtälön on täytettävä, jotta yhtälö voidaan luokitella lineaariseksi: lineaarista suhdetta ilmaiseva yhtälö ei voi koostua useammasta kuin kahdesta muuttujasta, yhtälön kaikkien muuttujien on oltava ensimmäisellä potenssilla , ja yhtälön on piirrettävä suorana viivana.

Yleisesti käytetty lineaarinen suhde on korrelaatio,. joka kuvaa kuinka lähellä lineaarista tapaa yksi muuttuja muuttuu suhteessa toisen muuttujan muutoksiin.

Ekonometriassa lineaarinen regressio on usein käytetty menetelmä lineaaristen suhteiden luomiseksi eri ilmiöiden selittämiseksi . Sitä käytetään yleisesti ekstrapoloimaan tapahtumia menneestä tulevaisuuden ennusteiden tekemiseen. Kaikki suhteet eivät kuitenkaan ole lineaarisia. Jotkut tiedot kuvaavat suhteita, jotka ovat kaarevia (kuten polynomisuhteita), kun taas toisia tietoja ei voida parametroida.

Lineaariset funktiot

Matemaattisesti lineaarisen suhteen samanlainen on lineaarifunktion käsite. Yhdessä muuttujassa lineaarinen funktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\teksti\ &b=\teksti\ \end</ annotation>$

Tämä on identtinen lineaarisen suhteen annetun kaavan kanssa, paitsi että symbolia f(x) käytetään y:n sijasta. Tämä korvaus on tehty korostamaan merkitystä, että x on kuvattu f(x:ksi), kun taas y:n käyttö osoittaa yksinkertaisesti, että x ja y ovat kaksi A:n ja B:n yhteydessä olevia suureita.

Lineaarialgebran tutkimuksessa lineaaristen funktioiden ominaisuuksia tutkitaan laajasti ja niistä tehdään tiukkaa. Kun annetaan skalaari C ja kaksi vektoria A ja B arvosta R^N, lineaarisen funktion yleisin määritelmä sanoo, että: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Esimerkkejä lineaarisista suhteista

Esimerkki 1

Lineaariset suhteet ovat melko yleisiä jokapäiväisessä elämässä. Otetaan esimerkiksi nopeuden käsite. Nopeuden laskemiseen käyttämämme kaava on seuraava: nopeusnopeus on ajassa kuljettu matka. Jos joku valkoisella vuoden 2007 Chrysler Town and Country tila-autolla matkustaa Sacramenton ja Marysvillen välillä Kaliforniassa, 41,3 mailin osuudella valtatietä 99, ja matkan kokonaiskesto kestää 40 minuuttia, hän on ajanut hieman alle 60 km/h .

Vaikka tässä yhtälössä on enemmän kuin kaksi muuttujaa, se on silti lineaarinen yhtälö, koska yksi muuttujista on aina vakio (etäisyys).

Esimerkki 2

Lineaarinen suhde löytyy myös yhtälöstä etäisyys = nopeus x aika. Koska etäisyys on positiivinen luku (useimmissa tapauksissa), tämä lineaarinen suhde ilmaistaan kaavion oikeassa yläkulmassa, jossa on X- ja Y-akseli.

Jos kahdelle tarkoitettu polkupyörä kulki 30 mailia tunnissa 20 tunnin ajan, ajaja päätyy 600 mailin matkaan. Esitettynä graafisesti etäisyyden Y-akselilla ja ajan kanssa X-akselilla, viiva, joka seuraa etäisyyttä näiden 20 tunnin aikana, kulkee suoraan ulos X- ja Y-akselin konvergenssista .

Esimerkki 3

Muuntaaksesi Celsiukset Fahrenheitiksi tai Fahrenheitin Celsiuksiksi, käytät alla olevia yhtälöitä. Nämä yhtälöt ilmaisevat lineaarisen suhteen kaaviossa:

$\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)$

$\degree F = \frac{9}{5}\aste C + 32$

Esimerkki 4

Oletetaan, että riippumaton muuttuja on talon koko (neliömetrillä mitattuna), joka määrittää asunnon markkinahinnan (riippuvainen muuttuja), kun se kerrotaan kaltevuuskertoimella 207,65 ja lisätään sitten vakiotermiin 10 500 dollaria. . Jos kodin neliömetriä on 1 250, asunnon markkina-arvo on (1 250 x 207,65) + 10 500 dollaria = 270 062,50 dollaria. Graafisesti ja matemaattisesti se näyttää seuraavalta:

Tässä esimerkissä talon koon kasvaessa talon markkina-arvo kasvaa lineaarisesti.

Joitakin lineaarisia suhteita kahden objektin välillä voidaan kutsua "suhteelliseksi suhteeksi". Tämä suhde näkyy

$\begin &Y = k \times X \ & ;\textbf\ &k=\teksti\ &Y, X=\teksti{suhteelliset määrät}\ \end$

Käyttäytymistietoja analysoitaessa muuttujien välillä on harvoin täydellinen lineaarinen suhde. Trendiviivoja voidaan kuitenkin löytää tiedoista, jotka muodostavat karkean version lineaarisesta suhteesta. Voit esimerkiksi tarkastella jäätelön päivittäistä myyntiä ja päivittäistä korkeaa lämpötilaa kahtena kaaviossa esiintyvänä muuttujana ja löytää karkean lineaarisen suhteen näiden kahden välillä.

Kohokohdat

Lineaariset suhteet voidaan ilmaista joko graafisessa muodossa tai matemaattisena yhtälönä muotoa y = mx + b.
Lineaariset suhteet ovat melko yleisiä jokapäiväisessä elämässä.
Lineaarinen suhde (tai lineaarinen assosiaatio) on tilastollinen termi, jota käytetään kuvaamaan kahden muuttujan välistä suoraviivaista suhdetta.