线性关系

什么是线性关系？

线性关系（或线性关联）是一个统计术语，用于描述两个变量之间的直线关系。线性关系可以用图形格式表示，其中变量和常数通过直线连接，也可以用数学格式表示，其中自变量乘以斜率系数，加上常数，确定因变量。

线性关系可以与多项式或非线性（曲线）关系进行对比。

线性方程为：

在数学上，线性关系满足以下方程：

$\begin &y = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

在这个等式中，“x”和“y”是两个变量，它们通过参数“m”和“b”相关联。在图形上，y = mx + b 在 xy 平面中绘制为一条斜率“m”和 y 截距“b”的线。当 x=0 时，y 截距“b”就是“y”的值。斜率“m”由任意两个单独的点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 计算得出：

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <注解编码="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

线性关系告诉你什么？

方程必须满足三组必要标准才能成为线性方程：表示线性关系的方程不能包含两个以上的变量，方程中的所有变量必须是一次幂，并且方程必须绘制成一条直线。

常用的线性关系是相关性，它描述了一个变量与另一个变量的变化相关的线性变化的接近程度。

在计量经济学中，线性回归是一种常用的生成线性关系来解释各种现象的方法。它通常用于推断过去的事件以预测未来。然而，并非所有关系都是线性的。一些数据描述了弯曲的关系（例如多项式关系），而还有一些数据无法参数化。

线性函数

在数学上类似于线性关系的是线性函数的概念。在一个变量中，线性函数可以写成如下：

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text\ \end</注释>$

除了使用符号 f(x) 代替 y 之外，这与给定的线性关系公式相同。 这种替换是为了突出 x 映射到 f(x) 的含义，而y 的使用仅表明 x 和 y 是两个量，由 A 和 B 关联。

在线性代数的研究中，线性函数的性质得到了广泛的研究和严谨。给定一个标量 C 和来自 R^N 的两个向量 A 和 B，线性函数的最一般定义是： $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

线性关系示例

示例 1

线性关系在日常生活中很常见。让我们以速度的概念为例。我们用来计算速度的公式如下：速度是随时间移动的距离。如果有人开着一辆白色的 2007 年克莱斯勒 Town and Country 小型货车在加利福尼亚州的萨克拉门托和马里斯维尔之间行驶，在 99 号高速公路上行驶 41.3 英里，而整个旅程最终需要 40 分钟，她的行驶速度将低于 60 英里/小时。

虽然这个方程中有两个以上的变量，但它仍然是一个线性方程，因为其中一个变量总是一个常数（距离）。

示例 2

线性关系也可以在方程距离 = 速率 x 时间中找到。因为距离是一个正数（在大多数情况下），这种线性关系将在带有 X 轴和 Y 轴的图形的右上象限中表示。

如果一辆为两人制造的自行车以每小时 30 英里的速度行驶 20 小时，则骑手最终将行驶 600 英里。用 Y 轴上的距离和 X 轴上的时间以图形方式表示，在这 20 小时内跟踪距离的线将直接从X 轴和 Y 轴的交汇处延伸出来。

示例 3

为了将摄氏度转换为华氏度，或将华氏度转换为摄氏度，您将使用以下等式。这些方程在图上表达了线性关系：

$\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)$

$\degree F = \frac{9}{5}\degree C + 32$

示例 4

假设自变量是房屋的大小（以平方英尺衡量），当它乘以斜率系数 207.65 并添加到常数项 $10,500 时，它决定了房屋的市场价格（因变量） .如果房屋的平方英尺为 1,250，则房屋的市场价值为 (1,250 x 207.65) + $10,500 = $270,062.50。从图形和数学上看，它如下所示：

在此示例中，随着房屋大小的增加，房屋的市场价值以线性方式增加。

两个对象之间的一些线性关系可以称为“比例关系”。这种关系表现为

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf\ &k=\text\ &Y, X=\text{比例量}\ \end$

在分析行为数据时，变量之间很少存在完美的线性关系。然而，趋势线可以在形成线性关系的粗略版本的数据中找到。例如，您可以将冰淇淋的每日销量和每日高温视为图表中的两个变量，并找出两者之间的粗略线性关系。

＃＃强调

线性关系可以用图形格式或 y = mx + b 形式的数学方程表示。
线性关系在日常生活中相当普遍。
线性关系（或线性关联）是一个统计术语，用于描述两个变量之间的直线关系。