Zależność liniowa

Co to jest relacja liniowa?

Zależność liniowa (lub powiązanie liniowe) to termin statystyczny używany do opisania prostoliniowej relacji między dwiema zmiennymi. Zależności liniowe można wyrazić albo w formie graficznej, w której zmienna i stała są połączone linią prostą, albo w formacie matematycznym, w którym zmienna niezależna jest mnożona przez współczynnik nachylenia, dodany przez stałą, która określa zmienną zależną.

Zależność liniowa może być skontrastowana z zależnością wielomianową lub nieliniową (zakrzywioną).

Równanie liniowe to:

Matematycznie zależność liniowa to taka, która spełnia równanie:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text{y-przecięcie}\ \end$

W tym równaniu „x” i „y” to dwie zmienne, które są powiązane parametrami „m” i „b”. Graficznie y = mx + b wykreśla na płaszczyźnie xy linię o nachyleniu „m” i przecięciu y „b”. Punkt przecięcia z osią Y „b” jest po prostu wartością „y”, gdy x=0. Nachylenie „m” jest obliczane z dowolnych dwóch pojedynczych punktów (x₁, y₁) i (x₂, y₂) jako:

$m = (y_{2} - y_{1})) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1)) m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Co mówi ci liniowy związek?

Istnieją trzy zestawy niezbędnych kryteriów, które musi spełnić równanie, aby kwalifikować się jako liniowe: równanie wyrażające zależność liniową nie może składać się z więcej niż dwóch zmiennych, wszystkie zmienne w równaniu muszą być do pierwszej potęgi , a równanie musi być wykreślone jako linia prosta.

Powszechnie stosowaną relacją liniową jest korelacja,. która opisuje, jak bardzo zbliżona jest do liniowego sposobu, w jaki zmienia się jedna zmienna w stosunku do zmian w innej zmiennej.

W ekonometrii regresja liniowa jest często stosowaną metodą generowania zależności liniowych w celu wyjaśnienia różnych zjawisk. Jest powszechnie stosowany w ekstrapolacji zdarzeń z przeszłości w celu tworzenia prognoz na przyszłość. Jednak nie wszystkie relacje są liniowe. Niektóre dane opisują relacje, które są zakrzywione (takie jak relacje wielomianowe), podczas gdy innych danych nie można sparametryzować.

Funkcje liniowe

Matematycznie podobne do relacji liniowej jest pojęcie funkcji liniowej. W jednej zmiennej funkcję liniową można zapisać w następujący sposób:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text{przecięcie Y}\ \end{wyrównane}</ adnotacja>$

Jest to identyczne z podanym wzorem dla zależności liniowej, z wyjątkiem tego, że symbol f(x) jest używany zamiast y. To podstawienie ma na celu podkreślenie znaczenia, że x jest odwzorowane na f(x), podczas gdy użycie y po prostu wskazuje, że x i y są dwiema wielkościami powiązanymi przez A i B.

W badaniu algebry liniowej właściwości funkcji liniowych są szeroko badane i rygorystyczne. Mając skalar C i dwa wektory A i B z R^N, najbardziej ogólna definicja funkcji liniowej mówi, że: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Przykłady relacji liniowych

Przykład 1

Relacje liniowe są dość powszechne w życiu codziennym. Weźmy na przykład pojęcie prędkości. Wzór, którego używamy do obliczania prędkości, jest następujący: tempo prędkości to odległość przebyta w czasie. Jeśli ktoś w białym minivanie Chrysler Town and Country z 2007 r. podróżuje między Sacramento i Marysville w Kalifornii, 41,3 milowym odcinkiem autostrady 99, a cała podróż kończy się 40 minutami, będzie jechał nieco poniżej 60 mil na godzinę .

Chociaż w tym równaniu występuje więcej niż dwie zmienne, nadal jest to równanie liniowe, ponieważ jedna ze zmiennych zawsze będzie stałą (odległość).

Przykład 2

Zależność liniową można również znaleźć w równaniu odległość = szybkość x czas. Ponieważ odległość jest liczbą dodatnią (w większości przypadków), ta liniowa zależność byłaby wyrażona w prawym górnym kwadrancie wykresu z osiami X i Y.

Jeśli rower przeznaczony dla dwojga jechał z prędkością 30 mil na godzinę przez 20 godzin, rowerzysta przejedzie 600 mil. Przedstawiona graficznie odległość na osi Y i czas na osi X, linia śledząca odległość w ciągu tych 20 godzin przebyłaby prosto ze zbieżności osi X i Y.

Przykład 3

Aby przekonwertować stopnie Celsjusza na Fahrenheita lub Fahrenheita na Celsjusza, użyjesz poniższych równań. Te równania wyrażają liniową zależność na wykresie:

$\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)$

$\degree F = \frac{9}{5}\degree C + 32$

Przykład 4

Załóżmy, że zmienna niezależna to wielkość domu (mierzona powierzchnią kwadratową), która określa cenę rynkową domu (zmienna zależna), gdy jest pomnożona przez współczynnik nachylenia 207,65, a następnie dodana do stałej wartości 10 500 USD . Jeśli powierzchnia domu wynosi 1250, wartość rynkowa domu wynosi (1250 x 207,65) + 10 500 USD = 270 062,50 USD. Graficznie i matematycznie wygląda to następująco:

W tym przykładzie, wraz ze wzrostem wielkości domu, wartość rynkowa domu wzrasta w sposób liniowy.

Niektóre liniowe relacje między dwoma obiektami można nazwać „relacją proporcjonalną”. Ten związek pojawia się jako

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf\ &k=\text{stała}\ &Y, X=\text{wielkości proporcjonalne}\ \end{wyrównane}$

Podczas analizy danych behawioralnych rzadko występuje idealna liniowa zależność między zmiennymi. Jednak linie trendu można znaleźć w danych, które tworzą przybliżoną wersję zależności liniowej. Na przykład możesz spojrzeć na dzienną sprzedaż lodów i dzienną wysoką temperaturę jako dwie zmienne występujące na wykresie i znaleźć między nimi zgrubną zależność liniową.

Przegląd najważniejszych wydarzeń

Zależności liniowe mogą być wyrażone w formie graficznej lub jako równanie matematyczne w postaci y = mx + b.
Relacje linearne są dość powszechne w życiu codziennym.
Zależność liniowa (lub powiązanie liniowe) to termin statystyczny używany do opisania prostoliniowej relacji między dwiema zmiennymi.